Dl UNA PUNZIOIVE IN SERIE, ETC. 199 



Ora se c p,i<p, , clovra cssere p^<2o,| — p, ; ed , al conlrario , 

 se e p >P, , dovTa ossere p^>2p„ — p,. In ogni caso adunque la 

 condizionc per radeinpiinenlo dcircfiuazione (T) si e che fra i due Hu- 

 meri p, 2?o — ?, non si Irovi comprcso alcujio dci moduli delle radi- 

 I'i deir equazione <r'z=co . 



Uisulla da cio il seguenle 



T E O H E M A 



Qualunque funzionc cs di una variabile e svtluppabile in serie 

 ordimda secondo Ic potenze ascendenli delta differcnza z — z,„ pur- 

 clie il valore di z^ abbia /' argoinento stesso di z , ed il modulo 

 tale, che fra le due quantild 



mods e 2raodZo — modz 



non si trovi compreso alcuno dei moduli delle radici dell' equazio- 

 ne <r'z=oo . 



Cor. 1 — Se mod z e minore del modulo di qualunque radice 

 dell' equazione (f'z=:y5, e ehiaro che si soddisferd alia eondizione 

 volnta , prendendo 



mod s„ < mod z. 



IJunque in tal caso potrd anche far.ii s=:0, e cost si riloma al 

 teorema del sig. Cauchy. 



Cor. 2 — Se mod z e maf/r/iore del modulo di qualunque radi- 

 ce dell' equazione 9'z^io , ai potrd prvndere mod z,, > mod z. 



Cor. 3 — So s=0 baslora che 2modzn sia minore del modulo 

 di qualunque radice dell' equazione ?';;== co; e per conseguenza : la 

 formula 



9(0) = ,z,-z„¥'z„+^,"z-ec. 



sard csutta per qualunque valore di z„ che abbia il modulo infe- 

 riore alia meld del piii piccolo modulo delle radici delV equazio- 

 ne 9'z=oo . 



