316 FERGOLA SOPRA LO SVILIIPPO 



r unita una coslante nella funzione che li genera, per oUenere la fun- 

 zione dallo sviluppo di cui traggono origine i numeri di Bernoulli. 



11 passaggio daU'espressione dei nunicri ultra- Bernoulliani a quel- 

 la dei numeri di Bernoulli non e cosi facile come di leggieri polrebbe 

 farlo credere la forma dcllo funzioni da cui quesli numeri si ricavano; 

 menlre scbbene Tuna di quelle due funzioni possa ottenersi partico- 

 larizzando una coslante che si conticne ncirallra , pure non avviene 

 lo stcsso dei loro sviluppi, i quali difFcriscono esscnzialmento pel fallo, 

 che in uno di essi deve trovarsi un Icrmine che diviene infinito per 

 un valore nullo della variabiles ed un tal lormine non puo avere il 

 suo corrispondenle ncll' allro sviluppo. Seguendo pero un andamenlo 

 indirctlo ho potulo evilare qucsta difficolld , c sono pervemito ad una 

 nuova esprcssionc goneralc dei numei'i di Bernoulli , la quale e inte- 

 ramenle differente da quella data da Laplace (*), e dall' altra Irovata 

 da Abel soito forma di integrate definito. 



Siccome le espressioni che ho trovate per i numeri Bernoulliani 

 ed ultra-Bcrnoulliani sono formate mediante le soluzioni inlere e po- 

 sitive deir equazione 9, 4-29,-1- 3 7.-*- . . . -\-7iq,=in, cosi ho credulo 

 che alcune rimarchevoli relazioni fra le soluzioni medesime noii sa- 

 rebbero fuori luogo in fine di questa memoria. 



(") ladicando con B, , B, , B^ , .... i numeri di Bernoulli, I'espressione di Ba,^ 

 trovata da Laplace k la seguente : 



1 /1 2n\ 



_„'.»-._(n_l,2"-i(^l+--j 



(2n 1 2n(2n— 1)\ 



2n 



(2"'— 1)22"-« 



1.2.3 

 + ec. 

 L'csprcssione delta stcssa quantita trovata da Abel e 



2» / /-'-' 



dt . 



Ved. Lacroix — Traite du calcul dilTdr. et du calciil iiileg. t. 3 pag. 114. 

 Abel — OEuvres completes t. 2 pag. 226. 



