356 BATTAGLINl SULLA PARTIZIONE 



il paragone con quella dello sviluppo del binoinio 



_ k — Xi I , 



T^,+i = ;-T^ data 



a = 1 , g = — x" , k== — 1 , onde sara 



"i — 1 ^-, 0,-1 Oj— I a,„— I 



"^^il-x) ,^ = {l-x) (\-x) (l-x ) , 



e si avra quindi il tcorema del Paoli. 



11 numero delle maniere di comporre un numero n con i niinicri 



interi c,, Ca a,,, , c oguale al coefficicnle di x'^ nello sviluppo 



secondo le potenze di n dell' cspressione 



1 



(1— a;".) {l—x'^ ) {\—X"") 



Per otlcnere intanto questo cocfBcientc^ nel che consistc propria- 

 niente la difficolla del problema;, si ha un tcorema del sig. Sjlvcslcr che 

 intendiamo dimostrarc. Considcriamo da principio il caso semplicissimo 

 in cui gli m elemcnti at siano lulti eguali all' unita, il che corrispon- 

 de a cercare in quante vie possa comporsi il numero n con m termi- 

 ni del la serie del numeri nalurali. 



Pel teorema precedenle sarA in tal caso N eguale al coefficiente 



di x" nello sviluppo dell' espressione sicchc indicandolo con 



(1 — X)'" 



S„ , n si avra evidcnlemenle 



m(m-h\) .... [m-^n — 1) 



b,n , „ _ -J 2 — - ^ . 



Ora esseiido idenlicamcnte 



1 1 X 



(l—x)'" (1— a?)"*-! (1— ir)m 



e facile vedcrc che S-n , n ^ una tale funzione di /» ed n da soddisfa- 

 rc all' equazione alle differenze finite 



Sm , n :^ Sm — 1, n -(- Sm , n — 1 



