DEI KUMEBI. 3S7 



e ne sara un inlegralc parlicolare, poichc non racchiudc alcuna fun- 

 zione arbilrana. 



Si ponga inlanlo ?>„.,„= Fm f,. ; si avra 



Fm f„ 





Fm — Fm— 1 fii~t 



(Hide F),, = (1 — e-' )-"■ , ^ ^ c" , ed 



ent 



oo 



(• poiehc quosla osprcssione di S,„ /i soddisfa all'cquazionc alle differenze 

 finite mdipcndentcineiUc da t, i coefBcienli T,,,., delle potunzc di/nel 

 suo sviluppo vi soddisferanno ancora, c ne saranno perci6 inlegrali parti- 

 colari; sard quindi Sm.n cguale ad uno di quesli cocfficicnli; suppon- 

 ghiamo Sm.n = Tm.., e rcslera a deterrainare I'indice i. A tale oggelto 

 si osservi chc, per la natura stessa della qiiistione, allorche m = 1 , 

 sara Sm,n=l, qualunque sia il nuinero n; ma 11 solo termine dello 



sviluppo deU'espressione— — — - — che per to=1 sia indipcnden- 



le da n essendo evidcnlemente il prime, che e affctto dalla po- 

 tcnza — 1 di t, sara i = —\, S,„,„ =T„.,-i , c si avra quindi la 



propricta : II coefficiente di x" nello sviluppo deU'espressione -. — 



(l—X) 

 1 C' 



e ecualc al coefficiente di nello sviluppo di ,, — — . 



/ ' (1 — e-')-" 



Queslo risultato, che corrisponde al teorema del sig. Sylvester pel 



caso particolare esaniinato, in cui gli eleineiiti a. siano eguali all'ti- 



nila, ci da il mezzo di dimostrarc quosto teorema in tutia la sua ge- 



ncralita, nel seguentc modo. 



Si 



ponga 



X i 



""-(l-x'. (I-x-,) (1-'^) 



ed indicando con x„ ar, x, Xk Ic radici dell' cquazione 



X ^ 00 ^ e con wi„ m^. . . . m, m^ i loro rispetlivi gradi di 



