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cspressione immaginaria, poiclie la somina dei termini positivi, clo5 di quclli 

 che nascono dal nioltipiicare il valoi-e di v^„ per la fiazione 



cos'''«„_iCos^a„_2 . . . cos^ftj, 

 evidentemente risulta minore della sonima di tutti gli nllri negativi. Da cid 

 si conclude che so un grave scenda per una serie di piani contigui, e quindi 

 colla velocita che acquisto alia fine di questa disccsa, volta in contrario, fac- 

 ciasi ascenderc per la serie dei piani medesimi , non potra csso giungcre a 

 percorrcrli tutti; giacchi la sua velocita ascendente sari estinta prima di avere 

 percorso I'ultimo superiore s, di questi piani. 



Per assegnare il valore della velocita iniziale primitiva 7,, tale, che ab- 

 biasi u>^ = , cioe che la velocity del grave salente , si annulli neU'estremo 

 superiore del sistema, dovremo annullare il secondo membro della (30), dal che 

 avremo 



cos^a„_jCOs'^a„_2 



"" ■ 



cos'^«„_,cos^a:„_2COs^a„_3 ' ' " cos'^a„_jCos^«„_2 . . . cos^xj 

 Paragonando quesla espressione colla seconda delle (2), si avra chiaramente 



y„>v„ : 

 cio conferma che , onde il grave salendo possa percorrere tutto il sistema 

 degli n piani contigui, dovra la sua primitiva iniziale velocity, essere maggiore 

 di quella che il medesimo acquisterebbe se , partendo dalla quiete, discen- 

 desse per tutto il medesimo sistema, come gia osservammo. 



Sia k un intero qualunque, poiche abbiamo dalla trigonometria 

 cosKiz = (1 — senya)" , 

 percio sostituendo questa formula tanto nella (31), quanto nella (30), quindi 

 osservando che per qualunque curva il senw.a e un infinitesimo di second'or- 

 dine, avremo in questo caso dalla (31) la 



I 7„ =m(K -+- K_, -H K_, ^ . . . -f- h^Y= {2gHy . 



e dalla (30) la 



(32) { w, = [7^,- 2g{K-^ ft„.,-^ h,._, ^ ... -4- /«,)]: = (f „- n\):= 0, 



perche dalla (6) abbiamo anche 



