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«'i = (2(?/«i)' , v^ = (23): (/ij -4- /J,C0S««,)' , 

 e dalla (27) si otleria 



ma per ipotesi abbiamo y.^ = v^ , dunque sara 



7i = (y\— 29/»2)'cos«, = {2gh^y.cos^'cc^ , 

 ed il rapporto 



= — = — 5— >1, dondev, >7, . 



7„_« 7i cos^a^ 



Da cid si conclude che nel sistema di due piani , la velocita finale discen- 

 dentc v^ nel vertice dell'angolo da essi formato, sta alia velocita iniziale ascen- 

 dente yj nel vertice stesso, come il seno totale, sta al coscno quadrato del- 

 l'angolo medesimo; purche la velocita iniziale primitiva 7^ del grave ascen- 

 dente, uguagli la velocita finale ultima del grave discendente. 



L'indicato rapporto e assai semplice nel caso di due piani, lo sara meno 

 nel caso di tre , e diverra sempre piu complesso crescendo il numero dei 

 medesimi. Sieno in fatti AB, BC, CD tre piani contigui, e formino il sistema, 

 pel quale deve tanto salire quanto scendere un grave: cerchiamo il rap- 

 porto fra la velocita finale discendente i'^, e la velocita iniziale ascendente y.^ 



nel vertice B. Avremo per questo caso n = 3, m = 2, e dalla seconda delle (2) 



sar^ 



v^ = (2(//tj)- , v^ = (23)"(/jj -+- fegcos^a^ -+- /«iCos^a.^cos'^«j)^ ; 



cosicche dalla (27) dedurremo 



7i = (V^jCos^a^ — "igh^cos^a.^ — 2gh,^)'cosoci . 



Ma per ipotesi abbiamo 1^3=73, dunque sostituendo nel valore di y^, ora tro- 



vato, quello di v'^^ invece di y'^j, avremo 



7j = [2g{h^-+- hjjCosVj-l- feicos'^a^cos'^ajcos^a^ — ^gh^cos^a^ — 2gk^xosc(^ ; 

 laonde il rapporto cercato, sara per questo caso 



7,._m 7i [(ft^cos'^a.^ -H /i^cos'''a2Cos"''aj)cos^a2 — /j^J-cosa^ 



che molto piii 6 complesso del precedente. 



Mediante la quarta delle (1), possiamo dalle formule precedenti eliminare h, 

 similmente a quanto si e indicnto pel moto ascendente (§ lV,Q/fV), introducendo 

 cio^ nelle formule stesse, gli angoli delle inclinazioni dei piani all'orizzonte, colle 

 lunghezze dei medesimi. Eseguita questa eliminazione, la (27) si ridurra nella 



