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in cfibUi debbono avtu* luogo solo 8 valori diversi di k. Si domanda dunque co- 

 sa mai significhino piincipalmenle gli 8 valori negativi. Ciò vien dichiaralo dalle 

 Jormolc Jbiìdamentali , il di cui sviluppamcnlo ha per risultalo la espressione di 

 y. , e si litrova , clic , p. e. quando corcasi il raggio del cerchio , il quale tocchi 

 con la sua convessità tulli e Ire i cerchi dati , il valor positivo di , dà questo 

 raggio , mentre che l' altro valore negativo , clic la formula dà egualmente , espri- 

 me il raggio del circolo efrettivamciite negativo , il qu;de tocca lutti e tre i cir- 

 coli dati con la sua concavitìj. Cerchisi , viceversa , il circolo , il quale tocchi i 

 tre cerchi dati con la sua concavità , allora la formola dà il raggio di esso po- 

 sitivo j nel mentre che T altro valore di x esprime , affetto dal seguo meno, il 

 raggio del cercliio, il quale tocca con la sua convessità i tre dati circoli. Quindi 

 è che a due a due sono identicamente gli slessi que' i6 valori di » , sebbene sia- 

 no in apparenza opposti ne' sogni , e si danno solo 8 valori diversi di » per gli 

 8 cerchi possibili. Verrà dimostrato , che tutto ciò debba cos'i necessariamente 

 aver luogo , ne soltanto si deduca qual risulUunento delle formole. Il simile acca- 

 derà, de' circoli tangenti quelli dati in parte con le loro convessità , in parie 

 con le concavità loro. 



Inoltre si ricava dalla formola , che si possano dare ancora meno di 8 cii- 

 coli tangenti , siccome è analogo alla re;dtà : propriamente ne' casi , ne' <juali la 

 grandezza sotto il segno radicale è negativa e quindi risulta la quantità ividicale 

 impossibile. Quivi si trova , che oltre agli 8 , solo 4 o ninno circolo tangente 

 possa darsi , non mai 6 ovvero 2 ; secondo la posizione de' centri de' circoli da- 

 ti , eie. 



Per gli altri problemi offronsi del pari diverse annotazioni. 



Come, ad esempio, nella quarta , nella semplicissima delle quattro quistioni, 

 anche i valori negativi dati dalla formola hanno la loro determinata significazio- 

 ne. 11 valore negativo p. e. , nel caso in cui cercasi U cercliio il quale tocchi 

 internamente i lati del triangolo , indica il raggio del cerchio che tocca i lati 

 slessi negativamente presi , nella quale posizione ancora essi racchiudono trian- 

 goli determinati , 1' aja di cui per necessità sarà egualmente negativa. I raggi 

 de' circoli , i quali toccano una ad una delle date linee rette dalla contraila 

 parte , ritrovansi per la formola , allorché nella medesima quello slesso la- 

 to si faccia negativo. Siccome però in questo caso le tic linee non formano 

 più triangolo , cosi pure in caso siffallo a non indica più 1' aja di un triangolo, 

 ma solo la grandezza numerica che; la dinota , e che rimane eosLinlomcnte la 

 stessa. Come poi il contrario segno di un lato debba dare neciissaiiamentc il rag- 

 gio del cerchio tangente che sia al (U fuori del triangolo e come ancora qui il 

 doppio segno della quantità radicale iibbia un dalo significalo si dimostrerà 

 dalla figura. 



In fine sarà rammentalo a guisa di appendice , che ancora nel proble- 



