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tfgrale quassù riferito , che forma 1' oggetto della memoria in quistione , detto integrale euleriano 



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 e""**"" d« "^^^'goa'o ordinariamente colla 

 

 funtione trascendente r introdotta dallo stesso Lrgcndre , mcrrè la quale può ora farsi a meno in 

 analisi delle facoltà numeriche del Kramp , o delle fattoriali del VVandermonde ; epperò sotto la signa- 

 tura gamma si ha per 1' integrale della a* specie , r« = / ^''x^ ite ' '''^ facilmente riducesi 



•loito la forma r/(= I ^ log -j . Eulero stabili un principio generale di riduzione per gl'in- 



lograli euleriani della prima specie , dando all' esponente del radicale un valore particolare. M 

 I.egcndre , assoggettando ad una considerazione speciale questo stesso esponente del radicale , 

 cioè supponendolo pari , fece la bella scoperta di ridurre a metà il numero primitivo delle tra- 

 scendenti ausiliarie. Il sig. Plana, battendo un sentiero diverso per giungere a questo importante ri- 

 siiliamento del Lcgendre , ha scoperta una combinazione acconcia a dargli una maggiore estensio- 

 ne , e ne ha determinata una formola generale di riduzione per qualsiasi esponente del radicale , 

 il quale non sia numero primo. Epperò il soggetto di questa prima memoria del signor Plana 

 è quello di ridurre gì' integrali euleriani della prima specie al minimo numero possibile di trascen- 

 denti per de' valori particolari dati all' esponente del radicale. Divide l' illustre analista questo suo 

 lavoro in due capitoli. Nel i" , che costituisce una specie d'introduzione al secondo, egli cerca 

 di presentare sotto uno stesso punto di vista la soluzione di molle quistionì , che hanno una con- 



/dx (l-x'/i 

 



nessione più o meno inlima coli' integrai edefinìto / di (1 — x') ; e come questo integrale ha de' 



«/ 



rapporti intimi alla trascendente «, che esprime la lunghezza della semicirconferenza riferita ni 

 rjggio I , è perciò che 1' autore ha notata la prima parte della sua memoria col titolo di « Ricer- 

 che analitiche relative all' espressione della trascendente w ». Nel secondo capitolo poi egli si fa ad 

 esporre l'analisi dell'integrale euleriano della prima specie. 



E per quello che risguarda il primo capitolo , dopo di aver integrato egli per parti 1' espressione 



\ dx (\.—x*) , supponendo rj numero positivo, ottiene una espressione dello stesso integrale de- 

 tinito tra' limili di o e i , in cui l' esponente q è nel secondo membro continuamente diminuito di 



1 , di 2 , di 3... di i , e ciò, facendo dopo 1' integrazione , un'applicazione ripetuta della prima 

 formola data dall' integrazione. Indi , considerando 1' esponente del radicale come un numero in- 

 tero eguale ad i , ottiene sotto sci altre forme dilTerenti l' espressione dello stesso integrale defini- 

 Io ; e mostra poi come coli' ajuto della prima delle sei formole prelodate può sommarsi , per mez- 

 zo della prima potenza di un integrale definito , la serie in che si svolge il quadrato di un arco 

 c'rcolare per le potenze pari del suo seno , e fa uso di metodi veramente ingegnosi per determi- 

 nare la legge de' coefficienti di tali potenze : e io una maniera analoga determina la legge dei 

 coefficienti ch'entrano nello sviluppo delle potenze superiori dello stesso arco. Lasciando da ban- 

 da le continue comparazioni fatte a proposito fra' risult.imenti ottenuti e q\ielli che si conoscevano , 

 e le osservazioni di Stainville siil'a relazione semplicissima che esiste fra il coefficiente generale 

 dello sviluppo dell' arco per le potenze del suo seno , con quello che si riferisce allo svolgimento 

 del quadrato dell'arco medesimo: e '1 vantaggio della formola del binomio, avuto riguardo all'espo- 

 nente di esso, per estendere a de' risultamenti che sussistono per ogni ([ualsiasi numero, quelli che 

 derivano da nnmeii interi scelli come ausiliari; e l'identità della sua formola con quella determi- 

 nata dal Wallis , la quale non è esplicitamente applicabile , che al solo caso in cui l'esponente delle 



