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parentisi è numero intero e positivo; e i mezzi di tendere scm|ilicissimi gli artifizi del Wallis prr 

 piegare la sua serie al caso in cui il predetto esponente fosse (razione , artifizi che risentono 

 l' infanzia dell' analisi a' tempi del mctamalico inglese \ e la bella ed ingegnosa trasformazione del- 

 l' integrale definito in quistione uvulone in cnnseguenzi di questi artifizi , conforme :il lingu;iggìj 

 dell' analisi moderna , trasformazione the comprende il caso particolare consideralo da Wallis ; e 

 la serie nella quale il gran Newton aveva sviluppato Io stesso integrale definito , nell' ipotesi clie 

 1' esponente quassù menzionato fosse un numero qualunque j e la semplicissima analisi per trasfor- 

 mare la serie di Newton di troppo poca convergenza ne' suoi primi termini in un'altra più conver- 

 gente ; e le belle e sapienti comparazioni fra i risultamentì avuti da tuoiì valentuomini , dietro 

 le quali ponendo a dis:imina un errore del Wallis scliivalo dal Newton , l' analista Torinese avverte 

 quanto il principio d' induzione può essere illusorio , allorché non è impiegato con grande circospe- 

 zione. E dopo il rapido cenno da noi dato di tutte queste cose che pure avrebbero meritata una distinta 

 disamina , onde essere vieppiù apprezzate , noi ci troviamo al secondo capitolo di questa memo- 

 ria . consagrato a un' analisi compiuta e piena di belle e profonde ricerche suU' integrale euleria- 

 na della prima specie , analisi già pienamente preparata da quella dell' integrale definito che (orma 

 lo scopo del capitolo primo. 



Comincia il nostro geometra la sua analisi coli' integrazione per parti della formola , che tra' 

 limiti di o e I costituisce quell' integrale euleriano -, ed esamina i casi nei quali quell' esponente 

 delle parentesi è un numero intero e positivo , o solamente un numero intero , o positivo soltan- 

 to. Indi esprime quell'integrale euleriano di prima specie in funzione di taluni altri di secon- 

 da sotto la segnatura del gamma legendriano , e ottiene tre equazioni fondamentali che racchiu- 

 dono tutte le proprietà generali di questi integrali definiti , una delle quali equazioni è quella 

 stessa ottenuta dal Jacobi per mezzo della considerazione degl'integrali doppi, e riportata nel 

 volume li dello stesso giornale del Creile ; la quale è analoga a quella pubblicata dal Poissoo 

 nel 10° quaderno del giornale della Scuola Politecnica. K qui rifletteremo che il metodo usato 

 dal Plana è assai più semplice e più conforme alle nozioni elementari del calcolo , delle qua- 

 li si allontana l' analisi del Jacobi e del Poisson , come è facile a esser ravvisato da chiunque 

 è anche semplicemente iuizianato nella scienza del calcolo. Il Plana passa a dar delle applica- 

 zioni della predtta equazione , e seguendo il cammino indicato della proprietà del gamma legen- 

 driano , giunge per una via più semplice e naturale alle stesse formole trovate per altra via dal 

 celebre .4l>cl e inserite nel tomo 3 del più volte lodato giornale di Creile. Trasforma indi le due 

 altre equazioni fondamentali , seguendo le stesse vie indicate dalle proprietà della funzione gamma ; 

 e ottiene un gran numero di risultamentì rimarchevoli per la loro semplicità , o , per meglio dire , 

 di relazioni analoghe alla prima trasformata , alla quale per altra via più complicata e meno fer- 

 tile di applicazioni era giunto il Legeudre in una sua memoria sulle trascciulcnticllitticlie, E fra que- 

 ste simili relazioni è notabile quella segnata sotto 1' ( m.;) trovata anche dal Legendre iu un mo- 

 do del tutto differente , e inserita nel tomo II de' sucri Esercizi di Calcolo Integrale , e l' altra col- 

 la segnatura | ) , eh' è una nuova relazione data dal Plana , e che ha una grande iuflueiiiii 



lulla riduzione de^l" iutcgrali euleriani rappresentati per mezzo del simbolo i — ]■ 



Possa il nostro dotto analista a cercare l' espressioni degl' integrali Euleriani di prima specie 

 per mezzo de' prodotti infiniti. Questo stesso fu lo scopo di primi lavori di Eulero (atti sopra questo 

 «oggetto; e la funzione caratteristica di p, q , n da lui ottenuta per rappresentare l' integrale definito 



