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P~* . n.n""' in quella che fece «coprire a questo principe degli analisti le principali 

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proprietà di questo integrale definito : e da essa dedusse il grande Eulero la fattoriale ( ^ li 



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col cui raezio egli stabili le funzioni I"" 1 1 ) > e , clic egli poi modificò nel tomo 



IV del suo Calcolo Integrale : poiché , come la fattoriale del Wallis , non offriva il mezzo più 

 spedito per valutare numericamente queste trascendenti. E però, dopo di aver egli sviluppato colla 



formola del binomio /n\n e moltiplicato lo sviluppo per jp' ^, integrò tra' limiti di 



o e I ; e divise in due parti 1' integrozione di questo slesso sviluppo , prendendone la prima da 

 X =^0 fino a X = — ; e la seconda da x = — fino ad x = i. E queste stesse orme calca il 

 nostro analista torinese. E qui farò una digressione a lode del nostro dotto corrispondente 

 Giuseppe Zurria , il quale ha battuto lo stesso sentiero io una sua memoria , di cui ha fatto 

 dono a questa Reale Accademia delle Scienze , il cui oggetto è quello di applicare il calcolo de'' 

 dlffcTenzialì e delle differenze di ordine fratto alla ricerca degl'integrali Euleriani di prima e secon- 

 da specie. L' analista siciliano non solo è pervenuto con certe semplificazioni tutte sue proprie a 

 quella stessa formola , che per altra via aveva ottenuto 1' italiano Mascheroni , e a farne uso ptr 

 gì' integrali Euleriani di prima e seconda specie in prodotti infiniti ; ma ha benanche trattate alla 

 tua maniera alcune quislioni , sulle quali si esercitarono il Paoli , il Legendre e il Piola. E fu , 

 dietro al rapporto che io feci a quesl' Accademia di questi lavori del Zurria , che la medesima , 

 accettando la mia proposizione, lo nominò suo socio corrispondente. Riior ndo alla detta memoria 

 del Plana , egli continua la sua analisi , e mostra i limili tra' quali rii..ase Eulero che fu il pri- 

 mo ad occuparsi degli integrali detti Euleriani dal Legendre ; e le formole generali , alle quali 

 non giunse quel grande analista ; ma che formano il titolo più bello della gloria di Legendre. 

 1.' analista torinese da fine alla sua memoria con assegnare le formole , mercè le quali gì' integra- 

 li sudetli riduconsi , com' egli propose , ol minimo possibile , per un valore particolare dell' espo- 

 nente del radicale , e per vie non ancora da oltri battute. 



L' altra memoria del nostro celebre analista si riferisce alla disamina de' tre celebri integr.i- 

 ìì definiti quagiù notati e trattali dallo stesso Eulero e da altri analisti , e intorno a' quali il geo- 

 metra italiano molle cos<; discorre , facendo ricca la scienza di belli ripieghi analitici e di belle 

 e sapienti comparazioni. Comincia egli la sua analisi colla osservazione che il terzo degl' integrali 

 de' quali imprende la disamina, è sempre riducibile a' due primi ; e per dimostrarlo egli integra 

 per parti j riflette che la parte sgombra dal segno sommatorie diviene zero si nell'ipotesi di x=o , 

 che in quella di x =3 «i , e indi tratta separatamente il caso nel quale r = o , o pure che abbia 

 un valore qualunque , mostrando in una maniera semplice e chiara come la sua ricerca è essen- 

 rialmente ligata colle trascendenti comprese nella funzione chiamata gamma dal Legendre. E infatti 



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 I dx 

 



«lira , nella quale , attesa la natura di questi limiti , pone x invece di ax j e che rendesi cosi cs- 

 primibìlc per la formola — j- sotto la condizione di a reale e positivo. Ciò fatto egli sviluppa nel- 

 le serie note in funzione degli archi le trascendenti coibx e tcnbx , le quali introdotte nella for- 

 mola precedente danno i due primi integrali sotto la segnatura gamma rispetto a r, affetta da' coef- 



r— 1 — o* 



e 

 



