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potrebbe dimandare , che prima di cominciar tal dimostrazione si provasse , che 

 r angolo di un triangolo sia determinabile dagli altri due direttamente , e non già 

 dovendo ricorrere al ripiego di queste stesse funzioni. 



La dimostrazione del Lcgendrc dunque è fondata su principi non prima sta- 

 biliti , ed anche non ben dedotti , e però non è ammissibile : ne poi essa è an- 

 cor tale da potersi dire , che : /' anahjse offre un moyen ausst simple que fa- 

 cile de dcmontrer rigoureuseynent le theoreme sur la somme des trois angles 

 d" vn triangle , aìnsi que Ics aufres proposiiions fondamentales de la Geome- 

 trie , avendo noi già veduto , che quella sua dimostrazione , e cosi delle altre di 

 cui accenna , avevan bisogno di non poche verità geometriche preliminari. 



Ripugnante è poi allo slesso suo principio di omogeneità la ragione eh' egli 

 adduce avverso coloro , che niente nitro objcltarono alla sua dimostrazione , se 

 non che essa potendo essere applicata parola a parola a' triangoli sferici , risulte- 

 rebbe ancora per questi , che da due angoli rimarrebbe determinato il terzo. Im- 

 perocché introducendo egli nella formola il raggio r della sfera , di che ben di- 

 ce doversi tener conto , non viene ad introdurre un elemento omogeneo a p, che 

 in questo caso è anzi questa divenula omogenea ad A , B , C , essendo un arco di 

 cerchio , e non più una retta : oltre a che , per serbar egli la legge di omoge. 

 neità si vede costretto a far divenire la r arbitrariamente un divisore della p ; 

 alla qual cosa né men paro eh' egli avesse riguardato nel dire : s Or poiché il 

 a rapporto - è un numero , del pari che A, B, C. « E noi di ciò ci varremo 

 solamente per concbiudeme, ch'egli ammettesse, che tra p arco, ed r retta pos- 

 sa esservi rapporto, e però riconoscendone l'omogeneità, avrebbe dovuto pur am- 

 metterlo , tra A , B , C angoli , o archi , e p lato del triangolo rettilineo ; il che 

 distrugge tutto il suo ragionamento per questo. 



Or ritornando sulla formola F ( A, B, jo ) , eh' egli dice doversi rigettare co- 

 me non omogenea ; lo stesso dovrebbe avvenire in altri casi ove concorrano an- 

 goli, o archi , e rette. Adunque sarà ancora incompatibile , che un arco di cer- 

 chio sia in ragion composta delf angolo eh' ei misura, e del suo raggio. E noi 

 però ci arresteremo a questo caso più semplice , per provare l' irragionevolezza 

 del suo assunto. 



Chiamisi dunque a la lunghezza di tal arco , r il suo raggio , e ? 1' ango- 

 lo eh' ei misura, l'equazione che dovrà aver luogo tra queste quantità sarà «= r» . 

 che secondo il Legendre dovrebbe rigettarsi come non corrispoudenle al principio 

 di omogeneità. Ma se indichisi per A il quadrante del raggio t-, cper * l'angolo 

 retto , che gli corrisponde ; ed oltre a ciò esprimasi per « un quadrante del rag- 

 gio I , sicché un tal arco sia come 1' unità di tutti gli archi circolari , sarà a : 

 A :: ? : * (33 EI. VI. ) ; e sarà pure A : » ;: r : i , perchè gh archi circolari si- 

 mili sono come i loro raggi. Dunque risulterà , ex aequo , e : » :: (t : *) 

 ( r: I ) ; e quindi « = » "-t-'i-- Ma | ed -j sono due numeri, e tale n è anche 



