434 



No' casi particolari si vedrà qual' k il migliore andamento per costruire fa- 

 cilmenlc l' equazione (4) ; ma volendo anche in generale accennare una coslru- 

 zionc che forse nella maggior parie de' casi riuscirà mollo semplice , faremo pri- 

 ma di tutto osservare che una curva di secondo grado, allorché ne sono dati cinque 

 punti si descrive (*) con la medesima facilità che quando se ne conosce un si- 

 stema di diametri coniugali. Or dalla forma che ha 1' equazione (4) si vede che 

 immediatamente si possono assegnare quattro punii : infatti ponendo 



2c' {n — ?nu ) — a'( -h b'u -k- c't= o , (6) 

 o pure 



2flf" ( n — mu) — d'I -i- 2deu -t- e' / = o , (7) 

 si ha Dell' una e nell' altra ipotesi 



2dd {n — mu) — 2dd'( -h ( de'-^d'e ) u •+■ ee'l 

 =/' [ 2fl ( /i — , mu ) ^ at -h 6u -i- et "] , 



(8) 

 20 ( n — mu) — al -Ì-. 6u -\- et = : (9) 



dimodoché costruendo le rolte espresse da queste quattro equazioni, le prime due 

 incontrando le altre due determinano quattro punti che appartengono alia curva 

 espressa dall'equazione (4). Un altro punto si assegnerà poi osservando che fa- 

 cendo neir equazione (4) 



2a' {n — ?nu ) — e'/ -t- b'u ■+- c'l= 2a {n — mu ) — at -t 6u -ir et 

 si ottiene 



2rf* (n — mu) — d'I -h zdeu -he*/ -^-f [ 2« ( « — mu ) — at-h bu ■± ci} 

 = zdd' ( n .^ mu ) — 2dd'l -4- ( de' -t- d'e ) u ■+■ ee'l ; 



talché il punto comune alle rette indicate da queste due equazioni è un altro 

 punto delia curva ; e cosi avendosi cinque punti si potrà poi descrivere. Non sarà 

 inutile di avvertire, per facilitare la costruzione di queste due ultime rette, che la 

 prima passa pel punto comune alle rette delle equazioni (6) e (9) , e la seconda 

 pel punto comune alle rette delle equazioni (7) , (8) , onde per ciascuna basta as- 

 segnare un altro punto soltanto C"*) , 



(*) Ncwton-Philosophiae naluralis principia malhcmalica. 



(••) È chiaro che una simile costruzione si applica a tulle le equazioni di secondo grado che si presen- 

 laoo tolto la forma 



(ax+6y + 0) {Bu; + 11» +i>) = (o'x + !-'!/ + e' )(">'* + ft'y +!>'). 



