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posta aver punii doppi. Segue da ciò clic generalmente parlando una curva qua- 

 lunque non ha punti doppi : supponiamo intanto che quel!' equazione di condi- 

 zione si verifichi , e sia « il numero de' punti doppi della curva proposta. Si po- 

 trà sempre per tutti questi punti far passare una curva : indicando con n il mi- 

 nor grado possibile di una curva che passi per que' punti , siccome un' equazione 



del grado n contiene 1- i termini , cosi la curva corrispondente può 



7/ ( « -H 3 ) 2 

 passare per punti , onde deve essere 



Facciasi 



^ = » + ^ , (4) 



sarà ^ una funzione tale di a che per ciascun valore particolare attribuito ad » 

 dà per n un numero intero tale che sia il più piccolo di quelli che soddisfanno 

 all'inequazione (3). Intanto potendo supporre che si prendano ad arbitrio sulla 

 curva data oltre gli » punti doppi , altri ^ punti , la curva di cui l' equazione 

 è del grado n incontrerà la proposta negli » punti doppi e ne' rimanenti jj pun- 

 ti ; quindi se fra le loro equazioni si elimina una delle variabili e sia j/ , 

 r equazione che ne risulta in x dovrà avere » coppie di radici uguali, e ? radici 

 disuguali ; cioè sarà del grado 2» -|- ^ ; ma 1' eliminata suddetta non può sorpas- 

 sare il grado mn, dunque avremo ancora 



mn^2a. + ^. (5) 



Ciò posto affinchè n sia fi minor grado che possa avere una curva che passa 

 per gli » punti in quistionc, e necessario che il numero » sia maggiore del mas- 

 simo numero di condizioni cui può una curva del grado n — j soddisfare ; ma 

 «|UCSlo numero è indicato dal primo membro della inequazione (3) scambiando 



77 in n — 1 ; cioè dalla formola , dunque dovrà essere al- 



2 



(n — \) {n-\-z) n(7j+i) , ■ , , 



meno •«= 1- i =r , onde si dovrà avere 



2 2 



^ > n(n+i) ^ 



~~ 2 



Sicché invece di questa inuguaglianza e della (5) potremo far uso delle equazioni 



»»7J = s(2» + ^), (6) 



.==..nl^±0, (,) 



