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511. 



Del numero de punti di flesso , de punii doppi, e delle tangenti doppie 

 che può ammettere una curva del grado lu. 



23. Cominceremo per occuparci de' punti di flesso , e supporremo che 



f{x,y) = o (i) 



sia un' equazione qualunque fra due incognite del grado m liberata da radicaU. 



e da rotti : dovendo nel punto di flesso essere il coefliciente diflerenziale di secondo 



,. d'w . , ,, 



ordine — '— = o , si avrà 1 equazione 



dx' 



\dxl ày- \dx)\drj} dxdy^Uy) dx' ' ^' 



la quale unita all'equazione (i) serve per determinare i valori di a: e di y che 

 corrispondono alle coordinate del punto di flesso. L'equazione (2), osservando che 

 le derivate di primo ordine della funzione f sono del grado /ti — i , e quelle 

 del secondo ordine del grado ot — 2 , è evidentemente del grado 3ot — 4 » onde 

 eliminando tra le due equazioni (i) e (2) una delle variabili , pare che si dovesse 

 ottenere un'equazione del grado m{^m — i). Ma esaminando attentamente la 

 l'orma dell' equazione (2) , si vedrà che essa può ridursi ad un' altra di minor 

 grado. Infatti se indichiamo con ^ {x , y) l' insieme di tutti i termini del grado m 

 ed m — I , che compongono la funzione /( x, y), e con i {x,y) la somma 

 di tutti gli altri termini ; laiche sia 



l'equazione (2) diviene 



/ d? _d*_Y / d^ d'* \ f ^? ^*X ( ^''' i!iì 

 Vii"*" dx ) \ d,y ^ dy' rXdif^-dif] \ dx' "*■ dx' I 



\dx dx ) \ dy dy ) \dx dy dxdy J 



.=0,(2') 



il cui primo membro si compone dell' espressione 



( ^^ V à\ „ /^^ d, d> / dy Y d> 



\dxj dy ^^ dx dy dx dy '^\ dy J ~àF ' ^ ^ 



