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Ricerche di analisi applicata alla Geometria del socio corrispondente 

 FoBTOKATO Padula { Continuazioue della pag. 4o8 Tom. in ejine J. 



22. Non sarà intanto inutile 1' accennare la diversità di forma che prende la 

 sezione prodotta nella superficie dal piano delle x e delle z , e di cui I' area è 

 espressa dal doppio della formoia (3, 20), della (1,21) della (2,21), secondochè 

 si lia r > a , r < » , r = «. A lai' oggetto si rifletta che 1' equazione di questa 

 curva essendo 



( 3* -t- X' )' — ( r' — «• ) { 3' -h a:' ) = »' a:' 



è verificala da' valori 2- = , s = , onde l' origine delle coordinale e un punto 

 di essa, ma prendendo le due derivate di primo e di secondo ordine si oltiene 



2(2--t-a:-)(2-^-i-a:)-(r'~.') ( z -j^ 4- ar J = .* ar, (1) 



/ r' — a* \ / d'2 ds' \ , / ds V . , 



H"'"^^* — r-)("-dF-^d^)-^H'dF-^^J='" (') 



delle quali la prima diviene identica pe' valori a:=o,3 = o, e la seconda dà 



e ci dimostra che quando r > » l' origine delle coordinale è un punlo isolalo 

 della curva. E di fatto , ritenendo le dominazioni usate nel n. 20 , \ espressione 

 che dà tulli valori di z corrispondenti ad un dato valore di a; è 



z = ± i/n . _ a:' + » v/'w* -^ a;' , (4) 



e si vede che quando il radicale sottoposto al radicale universale si prende col 

 segno — i valori di z sono tulli immaginari, come si è fallo nel citato n. osser- 

 vare, tranne però pel valore x = o che dà 2 = 0. Allorché poi si prende il se- 

 gno -t- il valore a: = o dà 



3 := + V^2 n X =B + V^r' — «• 



il quale valore come rilevasi delle equazioni (i) (2) è un minimo finché r' < 2 ». , 

 ed un massimo quando si ha r' »= 2 »* , ovvero r" > 2 »* . In questo caso i valori 

 di z vanno sempre diminuendo da x=o ad x = r , e da x = o adx5= — r , 

 ed al di là di questi limili risultando immaginario il valore di a si vede che la 

 sezione è una curva chiusa simmetrica in ( orno a' du e assi delle x e delle z e 

 che taglia su' medesimi le parli 2r , 2 ^r' — «'. Laonde finche r non arri va ad 

 esser minore di « f^2 la curva ha la figura ovale; ma quando poi si ha r< xV's ces- 

 sa di esser convessa, venendo essa intersecala dalle tangenti applicate ai punti 

 dati dalle coordinate x=so, z = ± \/~r — «' , e che sono parallele all' asse 



