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 die anche la CP passa pel punto X, lo si dimostrera osser- 

 vando chc la predetta sezione conica passa anche pel punto 

 C, giacdie quando AIM cade sulla AC. si vedc facilmcnte die, 

 per la condizione del teorema, BN cade sulla BC. lnol- 

 tie, quando M cade in II ed N in I, X si trova nel ccntro G 

 dei vertici A, B, C. Finalmenle, sc M vada a distanza in- 

 linila sulla I HI perpendicolare al lato BC, lo stcsso avvicne 

 del punto N sulla IN perpendicolare al lato AC; percio allo- 

 ra il punto X coincide col punto Z conuine alle tre altezze 

 del triangolo ABC. Ota la sezione conica die per le stesse ra- 

 gioni sara descritta dal punto d' intersezione delle AM, CP 

 dovra passare pei medesimi cinque punti A, B, C, G, Z, c 

 percio essa sara la stessa di prima, vale a dire, le tre rcttc 

 AM, BN, CP s'incontrano in un medesimo punto. 



Sono piu elcganti i due teoremi segucnti dovuli al 

 Bcllati. 



Teor. IV. Se sui lati di qualunque triangolo ABC si co- 

 struiscano tre triangoli equilateri, i loro centri M, N, P for- 

 niano senipre un triangolo equilatero. 



Abbassando dai centri M, N, P dei triangoli equilateri 

 le MH, NI, PK perpendicolari sui lati BC, CA, AB sara 

 Mil :£*: m\S . BC, dove m e il rapporto \ : 1^12 tra la per- 

 pendicolare abbassata dal centro ed il lato di un triangolo 

 equilatero, ed il moltiplicatore )/ esprime chc la Mil e per- 

 pendicolare alia BC; poscia III ^h \ BA, ed IN ^ m-V* ' . AC: 

 sicche MN ^ f BA 4- m\S. (BC -+- AC). 



Precisamente nello stesso modo si trova 

 INP^iCB-r-^^. (CA+BA), PM^fAC-H^. (AB-+-CB) 

 La condizione die il triangolo MNP sia equilatero e com- 

 presa tutta intcra nell' equipollenza MP : MN si MN : PN, 

 poicbe questa esprime die gli angoli NMP, PNM sono egua- 

 li, c die il lato MN e medio proporzionale fra gli altri due: 



