DEL PROF. G. BELLAVITIS • 253 



in altri termini, infiniti punti della curva soddisfanno V equazione, ed 

 infiniti tra loro inlerealati non la soddisfanno. 



La cosa diviene piu singolare se V equazione contenga due ter- 

 mini, nei quali I 1 incognita sia elevata a potenze di esponenti irrazio- 

 nali anche fra di loro; allora qualunque immaginario (tranne quelli 

 compresi in alcuni particolari spazii) pud prendersi approssimalamente 

 per radice . Non so che alcuno abbia trattato di queste equazioni che 

 sono approssimatamente soddisfatte da qualsiasi immaginario; mi pare 

 che esse sieno una fra le tante prove del moltissimo che rimane da 

 fare nell' Algebra degl' immaginarii . 



Venendo alle funzioni trascendenli degl' immaginarii, bisogna da 

 prima stabilirne la definizione in guisa ch' essa comprenda quella re- 

 lativa alle quantita reali, e conduca a leggi analoghe. iNel calcolo dei 

 reali si hanno gli Esponenziali ed i Logaritmi, dai quali dipendono i 

 Seni iperbolici e le funzioni opposte: hanno con queste ullime molla 

 analogia, ma ne sono affatlo separate le funzioni dettc Seno ed Arco- 

 seno. Inveee nel calcolo degl' immaginarii gli esponenziali ed i loga- 

 ritmi, ed i seni iperbolici e le funzioni opposte che ne provengono, 

 comprendono come caso particolare anche i comuni seno ed arco-seno: 

 cosi nel calcolo deal' immaginarii tulle le funzioni considerate nell'Al- 

 gebra elemenlare si riducono al logaritmo ed alia sua funzione opposta. 



Prima di procedcre agli sviluppi in serie infinite di queste parti- 

 colari funzioni, giova trattare in generale delle derivate dclle funzioni 

 e del teorema del Taylor. Supponiamo che nel nostro solilo piano 

 verticale il punto X prenda una qualunque posizione, ed a ciascuna 

 sua posizione corrisponda una determinata posizione di un punto Y si- 

 tuato nello stesso piano verticale, o se si ami meglio in un altro pia- 

 no, nel quale egualmente sia stabilita V origine e 1 " unita delle lun- 

 ghezze reali; si dira che 1' immaginario Y (esprimente la posizione 

 del punto Y) e funzione dell -1 immaginario X. Tutto V insieme dei 



punti y costituisce una figura che ha una certa dipendenza dalla fi- 



i 

 gura dei punti X: cosi per esempio, se sia I r = — una figura potra 



dirsi T inversa dell' altra, e fra le due figure avranno luogo certe re- 



