254 SAGGIO SULL' ALGEBRA DEGLI IMMAGINARII 



lazioni da me sludiate in apposita memoria (Annali delle scienze Vol. 

 VI. 1856). — Ora sc il pnnlo X si muova un cotal poco, lo stesso av- 

 verra del punto Y-, il rapporto dei due spostamenti sara esprimibile 

 da un immaginario, e quando gli spostamenti divengano infinitesimi 

 il limite di tal rapporto si dira la derivata di quella funzione, che 

 stabilisce la relazione tra Y ed X. Ma 1' esistenza di questo limite 

 costituente la derivata presenta forse qualche non superata difficolta 

 anche nel calcolo dei reali, e mi pare che molto piu sarebbe neces- 

 saria una rigorosa dimostrazione nel calcolo degl' immaginarii . 



Coloro che hanno in avversione gli scrupoli troverebbero forse 

 inopportuna la difficolta da me proposta, e giudicherebbero che il 

 passaggio dal reale all immaginario autorizzi pienamente ad ammettere 

 le derivate anche delle funzioni di immaginarii; e che cosi sia evi- 



dentissimo che, per esempio, la funzione J =— abbia la derivata 



— — — . Io risponderei che quando 1' accrescimento della variabile e 



reale, esso nel divenire infinilesimo percorre una retta di stabilila dire- 

 zione; invece epiando il punto X passa dalla sua posizione primitiva ad 

 una posizione infmilamcnte poco variata, esso puo percorrere od una 

 retta di varia direzione, od una curva qualunque, per esempio una spi- 

 rale ad infiniti giri: ora chi ci assicura che in tutte queste maniere di 

 movimento il rapporto dei due spostamenti infinitesimi di X e di Y ab- 

 bia sempre un medesimo valore? — Che se questo mio dubbio non per- 

 suadesse, io avrei in serbo un' altra ragione per combattere T evi- 

 denza del teorema: direi che il teorema e si poco evidente che esso 

 e falso . Supponiamo che la figura piana formata dai punti Y sia af- 

 fine, cioe sia una prospettiva parallela della figura dei punti X; sara 

 ancora vero che a ciascun punto X corrisponde con determinata legge 

 un punto Y, percio ancora potremo dire che 1" immaginario Ye funzione 

 dell' immaginario J?, ma non piu esistera la derivata di tal funzione. 

 So bene che in tal caso Y dipende da X = x-\- 1 c |/'37, e dal suo 

 valore conjugato x — £ iX^T , ma cio non toglic che Y sia fun- 

 zione di A. — Cosi nel calcolo deal' immaainarii bisogna dislinguere 



