DEL PROF. G. BELLAVITIS 263 



J. II. 



Delle Equazioni algebraiche. 



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15. Conserveremo il nome di equazioni alle espressioni delle ugu- 

 glianze fra gli immaginarii combinati tra loro mediante somme, mol- 

 tipliche, ec. , o mediante altre funzioni clie in seguito studieremo: ri- 

 serveremo il nome di equipollenze alle espressioni di rette uguali pa- 

 rallele e dirette per Io stesso verso non piu assoggettate alia condi- 

 zionc di passare pel punto di origine O (§. 14.), le quali equipol- 

 lenze saranno da noi indicate col segno =£= sostituilo a = . 



La X h ■+- A X' + B X 2 + C X + D = dicesi una equazione alge- 

 braica del 4.° grado rispelto all' immaginario incognito X. Ponendovi 

 X==P+X' e facilissimo dedurne la trasformata in X\ essendo X un 

 altro immaginario incognito. Ogni valore di X che soddisfa a quel- 

 F equazione dicesi una sua radice- si dimostra nel modo seguente 

 T impossibilita che l 1 equazione sia priva di radici. 



Se fosse possibile che il primo membro dell' equazione, che noi 

 rappresenteremo con Y, non potesse mai annullarsi, si potrebbe de- 

 scrivere un circolo col centro O tale che uno o piu valori di X por- 

 terebbero il punto Y rappresentato dalF immaginario Y=X'-\-AX>-+- ec. 

 sulla circonferenza di tal circolo; e quel valore di X non avrebbe ne 

 infinita grandezza ne infinita inclinazione; perche ad X infinito corri- 

 risponde Y infinito, e perche un cangiamento di 2 m nell' inclinazione 

 di X non mula alcuno dei termini dell' equazione; sicche nel trattare 

 le equazioni algebraiche ci e lecilo supporre che 1' inclinazione dell' in- 

 cognito X sia comprcsa tra — ir e -hw. Dicasi P quel valore, od 

 uno dei valori, di X che nella fatta supposizione renderebbe minima 

 e non nulla la grandezza di Y; posto X=P+X' avremmo una tras- 

 formata y=rX"+i'X' ! H-B'X"-|-CX'-(-Z)' , nella quale ad X'=0 

 corrisponderebbe il valor infimo di Y: ci resta da dimostrare che cio 

 e assurdo. Infatti se C non sia nullo, noi potremo prendere la grX 

 (grandezza di X) tanto piccola che riesca gr(C'X) maggiore della 



