264 SAGGIO SULL' ALGEBRA DEGLI IMMAGINARII 



sorama delle grandezze di tulti gli altri termini precedenti, ed inoltre 

 gr {C' X") <C sp D ' '■> ora conservando ad X tale grandezza e mutan- 

 done I' inclinazione potrcmo fare in guisa che C X sia dirclto oppo- 

 stamente a D ' , vale a dire che gr(C ' X + />') = gr/>— grC X ; 

 tutti i termini omessi potranno accrescere quesla grandezza, ma non 

 mai ridurla uguale a gr D , quindi sara gr Y' < gr D' ; percio e as- 

 surdo che Y ahbia V infimo valore Dl . 



Se C fosse nullo si direbbe del termine precedcnte B' X° quel 

 che si disse del C'X', e basterebbe mutare gradatamente 1' inclina- 

 zione di X' da O. a 180.° perche T inclinazione di BX° variando 

 di 560.° prendesse una volta la direzione opposla a quella di D' . 

 Se anche B' fosse nullo si applicherebbe il ragionamento al termine 

 A 'X' 3 , ed in mancanza anche di queslo, al primo, il quale non puo 

 mai s van ire. 



16. Appena occorre dimostrazione per riconoscere che, se P e una 

 radice dell' equazione proposta, il suo primo membro contiene il fat- 

 tore X — P, vale a dire che puo stabilirsi V equazione identica 



X 4 + ^X...+£> = (X— P)(X + ^ 1 X 2 + B i X+C l ): 

 e siccome Tequazione X 3 -\-A, X"-\-B i X+ C> = avra essa pure una 

 radice, cosi in fine si conoscera che ogni equazione algebraica ha 

 tante radici quant 1 e il suo grado, e che nel nostro caso sara identi- 

 camente X* -f- . . . +D = (X— P) (X— Q)(X— R)(X— S) , cssendo 

 P Q R S le quattro radici dell 1 assunta equazione; le quali possono 

 essere anche tra Ioro uguali. 



Pel modo perfettamente simmetrico con cui gli immaginarii — P 

 — Q — R — 5 sono comprcsi nel secondo membro della precedente 

 equazione, che e identica rispelto alia lettera X , si scorge che A e 

 la somma dei suddetti immaginarii — P — Q — R — iS, che B e 

 la somma di tutti i prodotti di tali immaginarii presi due a due, che 

 C e la somma dei prodotti che si hanno prendendoli a tre a tre, e 

 che finalmente l 1 ultimo termine D e uguale al loro prodotto. 



17. I teoremi ultimamente accennati non potrebbero darsi nelT Al- 

 gebra delle quantita se non se per quelle equazioni che hanno tante 

 radici reali quant 1 e il grado; essi invece sono sempre veri nelFAIge- 



