DEL PROF. G. BELLAYITIS 269 



portantissima teoria degli indici del celebre Cauchy. Se una retta OM 

 (Fiy. 7. a ), ossia Y immaginario M che la rappresenta, va gradataincnte 

 cangiando di dirczione, in guisa che la sua inclJnazione sla una deler- 

 minata funzione f(l) della variabile t, la quale procede sempre aumen- 

 tando da fine- ad 1 , noi chiameremo indice dell 1 immaginario il rap- 

 porto (/"(l) — f{®))- T dell 1 aumento dell' inclinazione dell' immaginario 

 a 7 = 180° . 



Cosi per esempio se 1' inclinazione dell' immaginario M sia f(t)=4-!rt, 

 il suo indice da t = a f=l sara 4; che se invece Y inclinazione 

 fosse f(t)=4 * t(l — t) Y indice sarebbe 0. Se non che noi non cono- 

 sceremo la formula che esprime I 1 inclinazione dell" immaginario, e ci 

 converra determinare I' indice mediante le posizioni della retta O 31 

 (rappresentata dalT immaginario 31); ed e essenzialissimo osservare, che 

 le posizioni estreme (corrispondenti a f = ed a f = l) di tal retta 

 non sarebbero sufficienti a determinare 1' indice, e che occorre cono- 

 scere I' andamento intermedio della retta; cosi in ambedue i prece- 

 denti casi la o M coincide colla retta su cui si prendono le quantita 

 positive, tanto per {=0 quanto per t=i ; ma nel caso di f(t)—&irt 

 essa retta compie due intere rivoluzioni girando nel senso delle incli- 

 nazioni positive; al conlrario nel caso di f(t) = ATt{l — /) la O 31 

 gira per mezza rivoluzione nel senso positivo (da / = fino a < = ^-), 

 poi retrocede fino alia posizione primitiva, sicche il suo complessivo 

 movimento puo riguardarsi come nullo . In egual modo se il movi- 

 mento della retta sia talmente regolato che essa passi successivamente 

 pei varii punti della curva ABC {Fig. 7. a ) fino a riprendere la posi- 

 zione primitiva il suo indice sara 2; che se invece essa passasse suc- 

 cessivamente pei punti della curva DEF Y indice sarebbe zero. 



Siccome Y inclinazione del prodotto di due o piu immaginarii e 

 uguale alia somma delle inclinazioni di questi, cosi ne viene che : Se 

 due o piit immaginarii dipendano da una medesima variabile t , la 

 quale aumenti da ad 1 , la somma dei loro indici sara uguale al- 

 V indice del prodotto . 



Nei casi che noi dovremo considerare la retta o M ritornera sem- 

 pre (da t = a t = l), alia posizione primitiva, e si trattera di deter- 



