272 SAGGIO SULL' ALGEBRA DEGLI IMMAGINARII 



doppio del numero delle radici delF equazione Y = 0, che sono com- 

 prese dentro il circuito espresso dai valori successivamente atlribuiti 

 air immaginario A . 



25. Se si cercassero le radici dell' equazione .-/A"+2?A"~'-f-...=0, 

 che sono inferiori alia data </, il circuito sarebbe un circolo di raggio 

 gf, vale a dire sarebbe X—gV lt , e sostituito questo valore nel primo 

 membro dell 1 equazione bisogncrebbe svilupparlo nella forma y + « V, 

 poscia determinare tutti i valori di t compresi tra ed 1, che rendono 

 n = 0, e vedere quante variazioni essi facciano pcrdere e quante varia- 

 zioni facciano acquistare nei scgni delle quantita y, » ; la meta della 

 differenza di tali numeri darcbbe il numero delle cercate radici. Ma que- 

 sli calcoli riescono non poco laboriosi. Intorno alia presente questione 

 ci limiteremo a notare, seguendo il Cauchy, che se si possa determi- 

 nare la grandezza di X in modo che la grandezza di uno dei termini 

 4 X" , B A'" -1 , ec. superi la somma delle grandezze di tutti gli altri, 

 il numero delle radici inferiori a quella grandezza di A sara eguale 

 all' esponente di A in quel lermine che supera tutti gli altri . 



24. La determinazione delF indice, e quindi del numero delle ra- 

 dici, e molto piu facile se si cerchi quante radici P=p-+-irV dieno 

 j) compreso tra a e b , e w compreso tra « e /3 . In tal caso il pun to 

 X dovra percorrcre il perimetro di un rettangolo HIKL (Fig. 9. a ) ; 

 percio si supporra 1 .° che sia x = b e che £ vada gradatamente cre- 

 scendo da « fino a /3 ; 2.° che sia £ = /3 e che x diminuisca da b 

 fino ad a ; 5.° che x = a e £ diminuisca da (i fino ad a ; 4.° final- 

 mente che \ — a e che x cresca da a fino a b : fra tutti cjuesti va- 

 lori cercheremo quelli che fanno svanire n ed esamineremo se essi 

 facciano perdere od acquistare una variazione nei segni di y h. 



Prendiamo per esempio V equazione 



X 3 — 3 X' — X — 5 — ( 2 X — 3 ) V = 



e cerchiamo quante radici p + t V^ essa abbia tali che <^ p < 1 , e 

 1-<t<[5. Si ponga in 1.° luogo ^ = 1+^, il primo membro 

 delT equazione diventera 



y=yH_»V = 2g — 8 — (£ 3 + 4£ — i)\A 



