314 SAGGIO SULL' ALGEBRA DEGLI IMMAGINARH 



dotto. e percio anche l' 1 e costanlemente = 1 ; vale a dire: la X 1 = 1 

 ha per radici i q interi non congruenti al modulo semplice P. 



52. Dimostrato che la X' — 1=0 ha q radici, la leoria dclle 



P l 



funzioni simmetriche (§. 16. 49.) mostra che il loro prodotto e sempre 

 = — 1 ; la loro somma, e le somme dei prodotti di tali radici prese 

 a 2 a 2 , a 5 a 3 .... a q — 1 a q — 1 , sono tutte = . Decompo- 

 nendo la conaruenza nelle due 



X^ -+- 1 = , X^ — 1 = 



ognuna di esse ha q : 2 radici disuguali ; quelle della prima sono i 

 non-residui quadratici, quelle della seconda i residui quadratici; il 

 prodotto dei primi e = 1 , quello dei residui e = — 1 ; le loro 

 somme souo separatamente = , ec. 



Quando P = p e numero primo- semplice sono residui quadratici 

 le quattro unita; cosi per p = 3 esse sole sono i quattro residui, ed 

 i quattro non residui sono (1 +V^)Q: (indicando al solito con fi una 

 qualunque delle quattro unita); e per p=7 sono residui 



(1, 2, 3, 1+V, 2+2 V;, 3+3\A)H 



sono non-residui 



{2±V, 5±\A, o±2V)Q . 



Quando P e immaginario semplice, — e dispari, percio le due unita 

 ±V sono non-residui; cosi per P=3-h2V si hanno i sei residui 

 ±(1, 2V, 1— V), ed i sei non-residui ±(V,2,1+V). 

 35. Se m e un divisore di q , osservando che 



A"' — -1 = (X m — 1 ) (A''-" 1 -(- Jf*— _(_...) =0 



si vede (§. 48.) che la X" — 1=0 ammetle in radici, vale a dire 

 tra i q interi ve ne sono m che danno V unita elevandoli soltanto alia 

 polenza m. esima . Sia G un intero che non renda G'"= 1 , e sia m=q :</,, 



essendo q, uno dei numeri primi divisori di q ; posto G q:q '=H, , 



