334 SAGGIO SULL' ALGEBRA DEGLI IMMAGINARII 



di una ordinaria frazionc. Cosi abbiamo 



p 



Se a e numero non primo, (a ; p) e evidentemente il prodotto 

 dei residui corrispondenti ai singoli fattori di a . Di piu il Jacobi 

 estese V uso di tal simbolo ai caso die p sia composto di fattori, in- 

 dicando con (a ; b) il prodotto di tulti i singoli residui quando in luo- 

 go di b si pone eiaschedun suo fattore componente. 



La legge di reciprocity e espressa dalla equazione 



(1) (o ; 6)=(6;a)( — i )<—)(»-.) = 4 



essendo a b due numeri dispari positivi senza alcun fattore comune. 

 Nel calcolare 1' esponente (a — 1) (b — 1):4 si possono togliere ad a 

 ed a b lutti i multipli di 4. 



Se per esempio voglia determinarsi il valore di (47; 101), si osser- 

 vera che per la preccdente legge esso e =(101; 47), poiche 1' esponente 

 di ( — 1) e multiplo di 4. Considerando che (101 ; 47) indica un residuo 

 rispetto al modulo 47 si fa palese che esso e identico con (7;47)(avendo 

 sostituito a 101 il suo congruente 7), il quale per la legge di recipro- 

 cita e =(47 ; 7) (— l) 3 2:4 =— (47 ; 7)=— {$ ; 7). E per la stessa legge 

 si ha (S ; 7) = (7 ; S)(— l) oa:, = (7 ; o) = (2 ; 5). Ora (2 ; 3) espri- 

 rae il residuo 2 a = — 1 . Questi calcoli danno per conseguenza im- 



mediata (47 ; 101)= 1 . 11 che (essendo 101 numero primo) e il cri- 

 terio da cui si conosce che 47 e residuo quadratico rispetto al mo- 

 dulo 101. Infatti si ha 42 s =47 . 



La legge di reciprocity riguarda soltanto i numeri dispari, occorre 

 percio conoscere la formula relativa al 2, essa e 



(2) (2 ; b) — (— !)(«-'):> 



Nel calcolare V esponente del secondo membro si puo togliere a 6 

 ogni multiplo di 8. Cosi per esempio 



(2 ; 2 1) = (2 5 5)= ( — ly-rf-O'*— _a . 



In quanto al valore di ( — 1 ; b) esso e =( — 1) (6-,): s , purche b 



