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(fi — i) iariabi/i, il determinante Hessiano H della (p sard nullo ; le derwate- 

 prime di questo H rispetto agli elementi di una sua riga qualswoglia saran- 



no proporzionali ai coefjicienti costanli «, , /S, ^e le derwate-prime della (p 



saranno sottoposte alia relazione (5). Viceversa, se il determinante simme- 

 trico H si anniilli, noi sappiamo pel § 57'" che le sue derivate-prime hanno 

 egiiali rapporti, sicche possiamo porre 



(6) D. H—ct'M.D.H—^HM,... D,^ F= «/S M , D,, H— iS'M,..., ec. 



(essendo M il loro massimo comun divisore), e le relazioni (4) si ridiicono 

 percio all' unica 



aD.? + /SD_,?+...z=0 , / , 



ma riraane da dimostrare che le a , /2 ,... sieno quantita costanti : dopo di 

 die ponendo a^zr a , /S^rr /3 , . . . sara D„<t>izi0, cioe <i' non comprendera 

 la M , — Nel caso che le derivate-prime della ?> sieno sottoposte a due 

 equazioni tra loro differenti 



(5') a.D^(p + /S,D^?-f-...z=0,«,D.?>H-/3^D^^ + ...=zO, 



prendendo le costanti a^ /3, . . . a^ /3^ . . . come coefficient! delle (2) ne risultera 

 D„ 't> = , D„ >f =: , cioe la $ sara ridotta a sole (« — 2) variahili ; le pre- 

 cedenti paragonate colle (4) mostrano pel § 57*" che in tal caso si annulla non 

 solo H , nia eziandio tutte le sue derivate-prime; viceversa e da credersi che 

 se si annullino H e tutte le D„ /? , D^ // , . . . la ip sia sempre riducibile li- 



nearmente ad (n — 2) variahili. 



§ 81 . Delle chiavi algebriche. II Cauchy chiamo chia^>i alcuni coeffi- 

 cienli simbolici, il cui prodotto riceve un particolar valore convenzionale, che 

 puo cangiarsi secondo la differente disposizione delle chiavi, sicche bisogna 

 porre attenzione di non mutar tal ordine. Le chiavi c' c' c\ . . che qui abbia- 

 mo da considerare sono sottoposte a queste condizioni : 1." II prodotto di due 

 chiafi eguali e sempre nullo. 2/ 11 prodotto di tutte le chiai>i disposte nel loro 

 ordine naturale c' C^ c' . . . e zr i . 3.' II prodotto di tutte le chiafi disposte 

 in qualunque altro ordine e zz: + i , secondo che e pari o dispari il numero 

 delle alternazioni colle quali si passa da tale disposizione alia naturale. 



§ 82. Ammesse queste supposizioni non e difficile intendere che : Un de- 



