i56 SPOSIZIONE ELEM. DELLA TEORIC.V DEI DETERMINANT! 



§ 91 . Funzioni simmetriche. Se rispelto alle x^ , x^. . . x^^ 



abbiano il significalo slabilito al § 7, ogni altra funzione simmetrica, come per 

 esempio 



X' x" x'' x" . . . 



(dove s' intende che le r quantita x si sieno sceltc tra le x^ , x^ . . . x^ in liitli 

 i modi possibili, coUa condizionc peraltro che in un termine non sia mai com- 

 presa due volte la stessa x) potra esprimersi tanto col mezzo delle s quanlo col 

 mezzo delle p. E cosa per se evidentissima die lutli i termini dello sviluppo 

 dclla predctta S*" saranno del grado a-hb-}-c-\-. .. considcrando ciascnna s 

 e ciascuna p del grado stesso del suo indicc (tali esscndo i gradi di tali fiin- 

 . zioni rispetto alle x). E pure abbastanza evidente che la X'^ espressa col mezzo 

 delle s non conterra alcun prodotto di (r-hi) o di un maggior numero di 

 queste s. Si trova che puo scriversi simbolicamente 



X-x^x^x' ...= \ a,b,c,...\ 



intendendo che dopo fatto lo sviluppo di questo determinante slmmetrico ogni 

 elemento a,, dclla diagonale si cangi in s^, ogni prodotto di due elementi for- 

 mati con due sole lettere, come «i b^znalzz. hi si cangi in ^a + i , ogni pro- 

 dotto di tre elementi formati colle tre lettere a b c , (come sarebbe «;, b^ c^) si 

 cangi in s^j^i,j^,. , e cos"i in seguito. Per esempio dalla (§ 42, 43) 



I a„ bh c 1 rr a,, bi. c, — a^bl— b^ al — c,al-^ 2^^ b, c„ 



si deduce la 



X'x'x''x'zz:s^Si,s, — s„St+c — s^Sa + c — s,s^^i,-h^^\+b+c 



'^^ 



