-140 SPOSIZIONE EI.EM. DELLA TEORICA DEI DETERMINANT! 



si pu() passarc alia edabc o colic tre alternazioni {{ae)) {{ac)) {{hd)) o 

 colle cinque 



{{ah)) {{ac)) {{be)) {{he)) {{bd)) , ecc. 



t>. Risulla (la qiianto prcccdenlemente si disse anclie 1' altro Tcoreina : // 

 niimero delle alternazioni, con cui una disposizione pub mutarsi in un'altra e 

 pari dispari insieme col numero di tutte le sostituzioni binomie, quadrino- 

 mie, sestinomie, ecc. che occorrono per passare da una disposizione alTaltra. 

 Cos'i ppr decidere se dalla disiiosiiionc abcdefghi si pervenga aJla 

 ei ghafhcd con un numero pari o dispari di alternazioni, invece di nume- 

 rarc (§ ii>) i 21 rovesciamenti d' ordine, si potra osservare che la soslituzione 

 e composta di Ire scmplici {{ae) {bid) {cgh)) , delle quali una sola (la bino- 

 mia) conliene un numero pari di termini ; dunque anche il numero di alterna- 

 zioni e dispari. 



ij. Ouanto abbiamo dimostrato giustifica pienamente la definizione, che 

 abbiamo data del determinante, poichc il segno da atlribuirsi ad un qualunque 

 suo termine c d a, e, b, e determinalo quando si dice che esso sara + o — 



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secondo che sara pari o dispari il numero delle alternazioni, che deggiono 

 esigersi suUe lettere del termine diagonale a^ b^ c^ d^ e. , acciocche prendano 

 rispetto agli indici la disposizione c^ d^ a^ e^ h^ . (La cosa non cangia menoma- 

 mente se si tengano ferme le lettere e si mutino gli indici.) Per detcrminare il 

 segno di un termine, se gli dementi sieno espressi nel modo generale, la ma- 

 niera piu spedita sara quella che risulta dal teorema del § »^ , e notando che da 



«. K ^i (h e, ad «3 ^5 <^i < ^4 



ha luogo negli indici la soslituzione 



((13) (254)) 



vediamo subito che il segno del secondo termine dev' essere — a motivo dcl- 

 r iinica soslituzione binomia ((13)). Ma se gli elemenli sieno dati in altro 

 modo credo che la maniera meno imbarazzante sia quella del Cramer che ho 

 data al § 4. e che si appoggia al teorema del § /V ,• cioe osservare che 1' ele- 

 mento <;, k superiore in riga ai due che lo precedono, d^ e pur esso superiore 

 a due, ed e, e superiore ad uno, sicche in tutti sono cinque rovesciamenti d or- 

 dine, e percio il segno sara — . 



