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Ad ogni cultore delle Matematiclie e nolo, che 1' integrale completo duna 

 equazioiie diflerenziale lineare deH'ordlne n a due variabili dipende, per un teo- 

 rema di Lagrange {Miscellanm Taurmensia, T. Ill), dalla determinazione di n, 

 od ii — 1 integrali parlicolari dell' equazione medesima priva del 2.° membro, 

 ossia ridolta al gruppo de' termini contencnti la variabile dipendente e le sue 

 derivate. Per brevila e cliiarezza di discorso daro quindinnanzi a siffatli inte- 

 grali parlicolari il nonie di valori elementari, e chiamero ridotta I'equazione,. 

 che risulta dalla proposta coll' annullarne il secondo membro, cioe quel ter- 

 mine o gruppo che puo esser funzione delta sola variabile indipendente. 



II somnio Lagrange nel dimostrare il teorema teste enunciate insegno il 

 modo di dedurre finlegrale completo dell'equazione lineare generate, mediante 

 gli ti, od ti — i integrali elementari dell'equazione ridotta, col metodo si lumi- 

 noso e fecondo delta variazione delle costanti arbitrarie (Noiweaux Me'moires de 

 r Acade'inie roijale de Berlin, annee 1775). Ma I'espressione immediata dell'in- 

 tegrale completo richiesto in funzione degli n, o di }i — 4 valori elementari sod- 

 disfaeenti all' equazione ridolta, venne indicata e dimoslrata la prima volta dal 

 celebre Laplace nella Memoria dianzi citala [Miscellanea Taurinensia, T. IV). 

 Sembra che questa Memoria sia poscia caduta noil' obblivione, poiche il dotto 

 Analista sig. G. Libri ha riprodotto nel T. X del Giornale di matematiche pure 

 ed applicate del sig. Crelle di Berlino, con lieve divario, la stessa formula di La- 

 place, senza avvertire che fosse gia conosciuta; e I'erudito sig. F. Moigno nel 

 Vol. II del suo Trattato di calcolo diflerenziale ed integrale [Introduction, pag. 

 38) mostra di attribuire la medesima formula al Dubourguet, riferendodi aver- 

 la incontrata nel Trattato di calcolo integrale di quell' Autore. 



La deduzione delle due formule di Laplace esprimenti T integrale com- 

 pleto di qualsivoglia equazione lineare a due variabili, mediante n, od w — 4 

 valori elementari soddisfacenti all' equazione ridotta, e lo sviluppo di queste 

 formule in integrali semplici sono il soggetto de' due primi Capi od Articoli 

 delta presente Memoria. II metodo inmiaginato da Laplace, onde sviluppare in 

 integrali semplici la prima di queste due formule, venne da me facilmente este- 

 so alio sviluppo dell' altra formula esprimente I'inlegralc completo richiesto per 

 mezzo d' un numero n — 1 di valori elementari. Colla medesima analisi ho po- 

 tuto altresi dedurre alcune relazioni di identita che servono ad agevolare le 

 successive dimostrazioni. 



