DEL M. E. PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH. 45 



Ma per forniare le n funzioni sottoposte a' segni d' integrazione nello svi- 

 luppo (lella prima di quelle due formule, conyieue istiluire seeondo il metodo 

 di Laplace allrellanli calcoli separati, schlerando gli n valori elemealari in nia- 

 niera che ciascuno di essi occupi alia sua volta 1' ultimo posto, e da ogni serie 

 de'yalori elementari deducendo di mano in mano w — 1 serie di termini, ca- 

 dauno de'quali equivale alia derivata del rapporto fra il termine posteriore ed 

 il termine corrispondente della serie anteriore. Ora niediante una singolare tra- 

 slbrniazione di qualsivoglia integrale replicato relativo ad una yariabile, ch" io 

 diraostro net Capo III, ho potuto tar dipendere lo sviluppo in integrali seniplici 

 deir una e dell' allra formula di Laplace da un solo degli n calcoli teste indicati. 



Poscia net Capo IV dimostro con facile analisi, che il coefficiente del se- 

 eondo termine di ogni equazione dilTerenziale lineare \iene espresso in fun- 

 zione degli n valori elementari da una formula frazionaria, il cui numeratore 

 e la derivata del denominatore. Merce questa osservazione ch' io feci sin dalle 

 prime indagini intraprese sul presente soggetto, e che venne accennata dal va- 

 lente Professore ed egregio mio amico Placido Tardy in una Nota inserita ne- 

 gli Annali di Matemaliche pubblicati in Roma dal chiar.™ Prof. B. Torlolini , 

 passo ad esprimere 1' integrale di qualsiasi ordine d' una equazione differenziale 

 lineare in funzione de' valori elementari, per mezzo di quelle formule, a cui 

 Laplace diede il nonie di risultanti, e che furono poscia designate col nome di 

 funzioni alternate od alternanti, e di funzioni determinanti dagl' insigni Mate- 

 niatici A. L. Cauchy, C. F. Gauss, e da tutli gli odierni Analisli. 



Si svolge net Capo V X espressione dell' integrale completo d' ogni equa- 

 zione lineare d' ordine n a due variabili, per mezzo d' integrali semplici, e di 

 funzioni alternate degli n valori elementari, o di un numero n — 1 di questi va- 

 lori. Fra le varie formule ottenute a questo oggetto havvi pur quella che ge- 

 neralizza, ed estende ad ogni equazione lineare a due variabili, un ieorema re- 

 lativo alle equazioni lineari col seeondo membro nullo, che venne proposto dal 

 prof. Malmsten di Lpsal, e fu dimostrato dal prof Tardy nella teste citata Me- 

 moria (TorloWni-Jntiali di Matenuttk/ie, aprile 1850). 



Lo scopo del Capo VI e quello di conseguire I'espressione di qualsivoglia 

 derivata della variabile dipendente. Distinguendo i due casi in cui I'ordine della 

 derivata richiesta sia inferiore ad w, ovvero superiore ad n — 1, trovo net pri- 

 nio caso, che per formare la derivata qualunque della variabile dipendente, ba- 



