46 SILLA ESPRESSlOiNE DELL'LNTEGRALE COMPLETO ECC. 



sta nella espressione di questa variabile sviluppata in inlegrali semplici sosti- 

 tuire a' valori elemcnlari, clie niolliplicano i detti inlegrali, le rispeltive lor 

 derivale d' un ordine eguale a quello della derivata richiesta. Nell' allro caso 

 oltre di eseguire la medesima sostiluzione, e d' uopo aggiungere al risultalo 

 un gruppo di termini contenenti le derivate successive del secondo menibro 

 dell'equazione proposla. II grado di questo gruppo corrisponde alia differenza 

 fra r ordine della derivata richiesta e quello della proposta equazione lineare, 

 e i coelilicienti dc' varii termini vengono llicilinente determinati per mezzo 

 de' coeflicienti dell' equazione lineare proposla ad integrarsi. 



Gli ullimi Ire Arlicoli o Capi della Parte I di questa Memoria sono de- 

 dicati alia leoria dell' integrazione delle equazioni lineari a coeflicienti co- 

 stanti. II caso che presenta qualche diflicolta pratica nell' integrazione di sif- 

 fatte equazioni e quello in cui I' equazione algebrica, che ha gli stessi coef- 

 licienti della data equazione lineare, sia dotata di alcuni gruppi di radici fra 

 loro eguali. Dall' esempio Irattato nel Capo YII si rileva I' utilita che si pud 

 ritrarre dall' applicazione del metodo di Laplace seniplificalo nel modo gia 

 esposto al Capo III, onde sviluppare I'integrale completo d' una equazione 

 lineare a coeflicienti costanti nel caso predelto di alcune radici eguali. Ma per 

 rendere piu evidente il vantaggio recato da questo metodo cosi compendiato, 

 era d' uopo paragonarlo con alcuno de' nielodi piu semplici finora usati. Ora 

 non si saprebbe trovare fra i metodi conosciuti, che servono a sviluppare 

 r integrale completo d' una equazione lineare a coeflicienti costanti nei casi 

 delle radici eguali, un processo di calcolo piu sicuro e spedito di quello 

 suggerito dall' insigne Eulero nel Vol. 11, pag. 432 delle Istituzioni di cal- 

 colo integrale ( AVW/o rt//e/'«, Petropoli 1792), e dimostrato dal chiarissimo 

 Matematico ed Astronomo G. Plana nelle Memorie della R. Accademia di To- 

 rino (T. 31, pag. 377). Imperocche I' Eulero riduce la queslione alio spez- 

 zamenlo d' una frazione, che ha per numeralore runilti, e per denominatore 

 il primo membro dell' equazione algebrica ausiliaria, i cui coeflicienti sono 

 gli stessi della proposta equazione lineare. D' alira parte il metodo del ce- 

 lebre D' Alembert adoprato dapprima dagli Analisti (Ilisfoire de l' Academie 

 des Sciences de Berlin, annee i748), appoggiandosi alio sviluppo in serie 

 rapporlo alle diflerenze esistenti fra una data radice e quelle che poi si ri- 

 ducono ad essa eguali, diviene si complicato e prolisso nel caso dell' egua- 



