54 SDLLA ESPRESSIONE DELL' INTEGRALE COMPLETO ECC. 



lori elemenlari. L'espressione di o", sarebbe evidentemente quella cbe risulta 

 dalla (brmula (14), allorche vi si ponga Az= o. 



§ 11- 



Sviluppo delle dm formule di Lap/ace in integrali semplici. 



Passiamo ad iadicare il procedimento analitico con cui Laplace nella gia 

 citala Memoria [Miscellanea Tauritiensia T. IV) ha s\iluppato in inlegrali 

 semplici la formula (iO). 



Dividendo la (10) per ij, , indi differenziando e dividendo per p,(\x , po- 

 scia di niiovo difierenziando e dividendo per 7, die , e cosi successivamente, e 

 chiaro che dopo n — 4 differenziazioni si avra una equazione lineare dell'ordine 

 n — 1 , il cui secondo membro sara aX rdx. Adoperando il segno ^ nel sen- 

 se indicate dalla formula del calcolo alle differenze, in cui si suppone A/>ir: d, 



I F(p) = F{m) + F(m-h[) -}- F{m-\-2) -h -h F(n—l), . 



p =^ m 



potremo rappresentare la predetta equazione nel inodo seguente 



P = " p 



(i7) 2 9,.. J/<''=a, Tdx, 



p :=zo -^ 



essendo cp,,,, , 9, ,, , cp,,. determinate funzioni <\i ij, , y^ ^,_, , 



6 delle loro derivate, ed intendendosi che 1/°^ equivalga ad ij. 



Ura poiche per le relazioni (8) si avrebbe, prescindendo dalle costanti arbitrarie, 



y„ — \l\ P.dxJ r.djcj \^'^^ [''.t'*, 



olterremo del pari 



p — n 



pz^O 



(18) 2 9,„yr=^,, 



