278 INTORNO ALL' CSO DEI COMPARTLMENTl DISEGDALl ECC. 



valli delle ordinate ; ma sarebbe falso il credere, ch' esso nietodo sia limitato a 

 tjuesto solo caso, iniperocche stendesi anche facilmente a quello in cui gli in- 

 lervalli sieno intieramente arbitrarii. Egli e nel suo libro dei Principii che tro- 

 vasi il detto nielodo ; e la pure sono abbozzate le tavole, che \ennero poscia 

 estese dal Cotes nella sua Uurmonia mensurarum. 



E perche il problema delle quadrature non e in ultima analisi che la ri- 

 cerca del valore nuraerico di un dato integrale defmito fra dati limiti, cosi il 

 metodo del Newton e del Cotes riducesi a spartire la differenza dei limiti del- 

 r integrale in un certo numero di parti eguali, e il cercato valore si desume 

 con data regola dai valori che prende la funzione sotto il segno integrate pei 

 valori delta variabile corrispondenti a ciascuno dei detti punti di divisione. 



Fu il chiarissimo Gauss il primo, il quale ebbe Tidea di spartire quella dif- 

 ferenza in parti diseguali, e regolare quel compartimenti per modo, die 1' ap- 

 prossiniazione si facesse uotabilmente maggiore di quella, che, a compartimenti 

 eguali, ottiensi dal calcolo di un ei^ual numero di valori delta data funzione : 

 imperocche cosi operando il grado delf approssimazione fassi generalmente il 

 doppio di prima. La soluzione di questo problema, condolta fmo agli ultimi det- 

 tagli dalla mano maestra di quel celeberrimo, trovasi consegnata nel volume 

 terzo per I'anno 1815 dei Nuovi commentarj delta Societa di Goltinga col titolo 

 « Methodus nova integralium valores per approximalionem inveniendi. » 



Se non che ed egli, e tutti quelli che presero a commentare il detto me- 

 todo, almeno per quanto io mi sappia, non tennero in conto alcuno i valori delta 

 funzione corrispondenti ai due limiti ; imperocche I'introduzione di quel valori 

 non puo che far crescere 1' approssimazione di due soli gradi, laddove 1' uso di 

 due nuove ordinate, che non corrispondano ai limiti, porta questa approssi- 

 mazione di quattro gradi piu elevata. Pero, quando si pensa che in un gran 

 numero di casi il calcolo numerico dei detti valori e per se semplice e spedi- 

 tissimo, sorge naturalmente il desiderio di mettere a profitto eziandio (|uei due 

 valori estremi, potendosi con leggerissimo aumento di calcolo numerico alte- 

 nuare di motto I'errore. 



La ricerca delle formole che nascono allora, quando nel nietodo dei com- 

 partimenti diseguali tiensi conto dei valori corrispondenti ai limiti delta fiinzio- 

 ne, ossia dei valori delle ordinate estrenie, forma to scojjo di ([uesta mia brevis- 

 sima Nota, che oso in oggi di sottoporre, o dottissimi colleghi, al vostro saggio 

 esarae e giudizio. Stabilite le formole generali che menano alia risoluzione del 



