422 SULLE CONICIIE OSCULATRICI, EC. 



—•2Ty'"sen'\x,y\ 



(i>l) 



\/ ( y'"^" -6(y'-^-cos\x,y\) y"Y" -h gj/"' ) 



./4.3 ' 



La direzione del diametro x^ vicne determinata da una qiialunque delle 

 formiile (15) (17) (18). Prolungando il diametro .r^ ollre il punto 



(.1, > ) d' una lunghezza — //, si ottiene il punto d' incontro coUa direttrice, ed 



abbassando da questo punto una perpendicolare alia tangente j^, col prolun- 

 gare questa perpendicolare oltre il suo piede d' una eguale lunghezza si avrebbe 

 nel punto estremo il foco della parabola osculatrice. 



Giova osservare che dopo di aver determinato il diametro .v^ della pa- 

 rabola osculatrice, basta conoscere il raggio p del circolo osculatore nel 

 punto (.f, /) per avere immediatamente nella projezione orlogonale di que- 

 sto raggio sul diametro x\ il valore h della meta del relative parametro, 

 come risulta dall' eguaglianza (26) che verra fra poco dimostrala per ogni 

 sezione conica. 



Se si fosse trattato di determinare la parabola che ha un contatto del 3. 

 ordine colla data curva nel punto (x, y), si avrebbe evidentemente trovato 

 la stessa parabola che ha per diametro 1' asse delle x^, e per rispettivo para- 

 metro 2h. II contatto di questa parabola coUa data curva diviene del 4." 

 ordine nel caso in cui la formula (20) si riduca a zero. 



Negli altri due casi, in cui la (20) abbia un valore negative o positive, 

 se denotiamo con / il semidiametro della conica osculatrice che ha per ori- 

 gine il punto (j", j), e con g il semidiametro conjugate, abbiamo (i) 



_£ — .1, r _ I. 



quindi troviame (d9) 

 (22) J- 



_ 3» / v/(y--V-6(j/'-f-cos \x,y\)y"'y"'-^'d y"') 



,_ (3yV)' 



^ ^(Y,y""-Zy"y"") ' 



II segno di f dee coincidere con quelle del raggio p di curvatura. 

 qualera la conica osculatrice sia un' ellisse, attesoche queste due rette cadono 

 allora dalla stessa parte rispette alia tangente, ed al contrario il segno di J deve 



