132 SULLE CONICHE OSCULATRICI, EC. 



il.il confrontare qiiesto valore con quello (li colj.r^,^/! offerlo dalla (43) si 



otterra 1 cguag;lian7,a 



(' poiclie quacliaiHlti i due iiiembri tlclla (46) , e poneiulo\ i il valore (44) 

 di e\ se ue deduce 



"i J— 2(«, + Acos2i.r,,?/J) — 2 T'^'"^*''-^'^ Sr«,+A cos 2 |, ,-,,!/,(' 



si avra infine dal para<;one di questo valore di u ^ — / col precedente I'equa- 

 zione ricliiesta 



(47) (//.-i-/M-os 2 |.i; ,/J )'=:— 2// sen2 j.r^ . j, \. {^r^^h cos 2 | j-^ , j, |) . 



Si scorge da questa equazione, die 1' inviluppo di cui si tralta e una para- 

 bola, il cui verlice ha per coordinate prese sugli assi delle u^ , z^ a partirc 

 dair origine (.r , )) 



— /(cos2|j,;,jJ, — y/tsen2J.f^,jJ, 



ed il cui foco ha per coordinate 



— //cos2|.r^,jJ. — //sen2|.t;,jj. 



In consegucnza I'assc di'lle w, ossia la retta x^ ove giacciono i centri delle 

 coniche , che lianno un contatto del 3." ordine colla data curva , sarebbe 

 la direttrice di detta parabola. E se pel punto (.r , )') si guida una retta che 

 fornii colla .r^ un angolo doppio di j-fj-/, |. il prolungamento di questa 

 retta oltre il punto (.r , }') formera col raggio di curvatura p normale alia 

 data curva, e positivo con .r, , un angolo eguale e di segno opposlo a |p, .rj . 



Ma avendosi \ p , .r„ |=; |^ — | j;„ . j J , ne viene cos |p . .r J =r — sen | ^^ , J, | • 



Dunque la projezione di p sulla retta teste guidata equivale a 



— psenSxj,)' )z= — /i (26), e rjuindi 1' estremita di detta projezione, vale 



a dire la projezione sulla relta medesima del cenlro del circolo osculatore. e il 



