434 SULLE CONICHE OSCULATRICl, EC. 



InliodoHo qiiesto valore di e^ nella 2.' delle (44), si trova 



rot j.r . «|=:col2 j jr V l-f-- ;^^f r, 



e dal paragone del presente valore di cot | -f^ , « | con qiiello offerto dalla 

 (48) si deduce 



y /•__ hz,5cn-2\x,,y,\ 



Ora elevando al quadrato i due membri della (49) abbiamo. merre la 1. 

 delle (44), r eguaglianza 



■^ •2(u^-\-hcos2\x^,y.J)' , 



doude 



M J -^- 2 /( H^ cos 2 j a\, , j; J+ A'- 



«, -/-■ 



2 j «,-!-/( cos 2 I X,, J/ J) 



Conseguentemente il paragone di questa espressione di u^ — / coUa pre- 

 cedents esibisce 1' equazione del cercato inviluppo 



(50) ?/;-t-2//tf^ros2|.r,,yJ-+-/('=: — 2^sen2J.r^.7j ^,!. 



che coincide collo sviUippo della (47). 



Conoscendo il foco e la dircttrice d una parabola, si puo con una ben 

 nola e facile costruzione guidarvi le tangenti da un punto qualunque, e deter- 

 minare la poslzione de' punti di contatto senza mestieri di descrivere alcuna 

 parte della curva. Con simile costruzione si puo dunque assegnare la posizione 

 degli assi cV ogni conica, che avendo il suo centro sulla retta .r„ , abbia comu- 

 ne colla data curva il circolo osculatore nel punto (x , y) , e quindi anco 

 fissare la posizione degli assi della conica osculalrice. Dal centro della conica, 

 che ha colla data curva un contatto del 3.° o 4.° ordine, con un raggio eguale 

 alia distanza di questo centro dal foco della parabola-inviluppo (47) descrivasi 

 un circolo, che incontrera la direttrice .i\ in due punti diametralmente opposti. 

 Questi saranno le projezioni ortogonall sulla retta .r^ de' punti di contatto degli 

 assi richiesti colla parabola-inviluppo, e le posizioni degli assi medesimi saranno 

 le letle fra loro perpendicolari che dividono per meta ed incontrano ad angolo 



