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(.r — b) lion pin di due, e qiiclla in (.r — <) noii ne piio avere alcuiia; duii- 

 quc nccpssariaiufule due radici cadoiio tra — a c due Ira e ^, e due Ira 

 /; c c. Ed iu oj^ui iutervallo, in cui uon ci fosse alruna perdita di varlazioui di 

 segno, lion polrebbe nemineno raden; alcuna radire, poiclie eiascuna equazione 

 ha ne piii ne meno tante radici quant' e il numero delle sue variazioni di segno. 



2-1 . Ma se la precedente equazione di 6." grado ahbia quallro sole radici 

 reali, la regola del Carlesio cl lascia dubbioso se esse cadano per esempio tutle 

 quattro Ira e Z» , giacche 1' equazione in .r avendo 4 variazioni di segno puo 

 avere 4 radici positive, e I'equazione in (.r — b) con 4 permanenze di segno puo 

 averne altrettante negative, luniarrebbc pur dubbioso se vi fossero due radici 

 in un intervallo, nel quale non vi sia alcuna perdita di variazioni di segno, a 

 motivo di essere 4 il numero di variazioni in eiascuna equazione, perche una 

 delle due equazioni puu avere due radici positive e 1' altra due radici negative. 

 Ecco dunque 1' importanza dell' utllissiuia regola del Fourier sostituitai a quella 

 del Cartesio, secondo la quale in un intervallo non vi possono mai essere pin 

 radici del numero di variazioni di segno, che si perdono dall' una all' altra delle 

 due trasformate che stanno agli estremi di quell' intervallo. 



22. II teorema o regola del Fourier puo dimoslrarsi in maniera afFatto 

 elemenlare nel seguente modo. 11 polinomio Ax'' -\- Bx^ -\- Cx^ -\- Dx -\- E 

 diviso per {x — a) da Ax^ H- B^x°' -f- C^x -|- D, ed il residuo E^ , essendo 

 B^~aA-i-B, C^ — aB^^C, D^~aC,^D, E^~aD^^E. Simil- 

 mente calcolando le B^zizaA-h B^ , C^^aB^-hC^, D^z:z:aC,-\- D avre- 

 uio il quozicnte Ax' -f- B^x -f- C^ ed il residuo 1)^ del polinomio Ax^ -+- B^x°' 

 -i- C,.r -\- D ancora diviso per x — a. Poi se B^ zn aA -f- B^ , C^ rr aB^ 

 -\-C^, B^z:zaA-\-B^ le successive divisioni per x — a daranno ancora il 

 quoziente Ax-\-B, ed il residuo C^, il quoziente A ed il residuo B^. 

 Tulti i predetti coefficienti si dispongono nella seguente tabella di calcolo (om- 

 niesse per brevita le potenze dclla .r) 



A-\-B-^C-hD~i-K 



a 



VI. VI 



