DI-.I, M. F.. PROF. GIUSTO HFLLAVITIS 371 



potra avere nel rtiedesimo intcrvallo piu radici del mimero di varlazioni di segno, 

 che si perdono nella serie della fiinzione e delle sue derivate fino all' rf^'""' quan- 

 do vi si sostituisce prima il valore infcriore poscia il superiore dell' incognita; 

 e la dilTerenza Ira il niimero delle radici e qiiello delle variazioni perdute non 

 sara mai un niimcro dispari. Infalli se iiella serie delle ("iinzioni /,/,/" ■ ■ ./'"' 

 immaginiamo sostiluiti tnlti i valori dell' incognita dal minore al inaggiore dei 

 confini del dato intervallo, vedremo che quando cangia segno la J si perde una 

 variazione di segno, poiclie prima di annuUarsi essa era di segno opposto alia J\ 

 e dopo annullala diventa dello stesso segno. Quando cangia di segno la f se 

 ie sue vicinc f f" hanno segni opposti, ne si perde ne si acquista alcuna varia- 

 zione, ma se le f J ' lianno segni eguali, siccome la f prima di annullarsi 

 aveva segno opposto della y^", cost si perdono due variazioni di segno. Dicasi 

 lo stesso di tutte le altre derivate, eccettoche dell' ultima, che si suppone non 

 cangiar mai di segno. 



29. I casi in cui alcune derivate si annullassero insieme potrebbero 

 discutersi separatamente, ma possono anche considerarsi come liraiti dei casi, 

 in cui le funzioni si annullino una alia volta, le altre avendo valori piccolissimi. 

 Ogni radice di un' equazione, che annulli ezlandio la sua derivata prima dee 

 considerarsi come una radice doppia, che sara tripla se si annulli anche la deri- 

 vata seconda, e cos'i in seguito. 



30. Nel precedente teorema invece della derivata f potra porsi una 

 funzione f^ che nel dato intervallo si mantenga sempre dello stesso segno 

 della f ; poscia invece della f" scriveremo la derivata della f^ oppure una 

 funzione, che conservi sempre lo stesso segno della f^, e cos^ in seguito. 

 Cio rende comoda 1' applicazione del teorema del Fourier alle equazioni, che 

 mancano di molti termini . Sia per esempio proposta la f^ x^ — 32x* 

 -t-i60.r^ — 428:zi0, ricercandone le radici positive possiamo dividere la 

 derivata per .r ed avremo j\^z.lx' — i28.r'-f-32U ; faremo lo stesso per la 

 derivata della f^. ed avremo la /^:rz3.5.r^ — 256; e la y^ si manterra sem- 

 pre positiva. I segni delle f f^f^f^ per or^O sono — •-( 1-, e per x 



grandissima sono -\ — \ — I- -f- . Per riconoscere come si perdano le tre varia- 

 zioni di segno, bastera ricercare 1' unica radice positiva della y^^O, che e 

 poco minore di 2, il qual valore conserva alia f^ il segno positivo, perci:) fa 

 perdere due variazioni di segno. Cos'i resta dimoslrato che la proposta equazione 

 ha una sola radice positiva. Alia stessa conclusione si giungerehhe operando in 



