DEL M. E. PROF. GlUSTO BELLAVITIS 373 



rlcorrere all' altro criterio dl spartire 1' eqiiazionc in parti, che si mantengano 

 tutte dello stesso segno : oppure mostrare che dando ai varii termini della fun- 

 zione i valori piii acconci non si puo giungere, dentro del dato intervallo, a 

 mutarne il segno. 



33. Veniamo ai criterii che assicurano della presenza di radlci. Se la f e 

 una funzione dell' incognita .r che almeno in un dato intervallo non cessi 

 d' esser continua e finita, e se la y^ cangi di segno dall' uno all' altro confine 

 deir intervallo, la fzzi ammette per certo un numero dispari di radici in 

 quell' intervallo. 



34. Credo utile esporre brevemente la teoria degli indici data dal Cau- 

 chy, da cui si fa tosto dipendere il teorema dello Sturm. Segneremo con I{f, (p) 

 \ indice relativo ad un certo intervallo, cioe la somma di tante unita positive 

 quante sono le variazioni di segno che si perdono nelle funzioni f tp . quando 

 la variabile x passa da un valore immediatamente minore ad uno immediata- 

 mente superiore a ciascun valore, che annulla la prima delle / (p , e di tante 

 unita negative quante sono le variazioni di segno che con egualc supposizione si 

 acquistano nei valori delle J^ (p . Percio se le / (p non si annuUIno mai insicme, 

 la somma dei due indici I{f, (p) -\- 1 {<p, f) eguagliera la somma di tante unita 

 positive negative quante sono le variazioni di segno, che si perdono o si aqui- 

 stano air annullarsi dell' una o dell'altra delle J q> . Ritenuto che dentro del 

 dato Intervallo le f (p sieno sempre continue e finite, esse cangeranno di segno 

 soltanto annuUandosi ; ed e facile riconoscere che la predetta somma eguagliera 

 eziandio il numero delle variazioni che nelle f (p ?,\ perdono da un confine 

 all'altro; cioe essa sara -}-l, — i, o 0, secondo che, quando all' incognita si 

 attribuiscono successivamente i due valori minore e maggiore, che formano i 

 confini dell' intervallo, nelle f ip si perde una variazione, o se ne acquista una, 

 o nulla si perde ne si acquista. Se la (p^ sia una funzione. che, almeno per 

 tutti i valori che rendono ?) =z 0, abbia segno opposto di f (il che esclude il 

 case che le (p ?>„ si annullino insieme) sara I((p,/):zz — I((p,(p^; e percio 

 anche I{f, (p) — I (cp, ipj uguagliera il numero delle variazioni che nelle /<p 

 si perdono dall' uno all' altro confine. Per la stessa ragione se la <p^ sia, almeno 

 per lutti i valori che rendono (p^^O, di segno opposto alia (p sara I ((p, (p^) 

 — /(?>,, <p) eguale al numero di variazioni che (sempre dal minore al mag- 

 giore confine) si perdono nelle <p <p^. Percio sommando sara I(y, (p) — I(<P^. ?-) 

 eguale al numero delle variazioni che si perdono nelle j <P (p^. Continuando 



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