374 SULLA RISOLUZIONE NUMERICA DELLE EQUAZIONI, EC. 



lo stesso ragionamenlo ed osseivando rhc se (p^ non muta mai di segno e 

 necessariamente I(ip^ , -i) m vedremo che se Ic (p^ (p^ . . . <?>,. sieno determinate 

 colla predetta condizione, che coll' annullarsi di ciascuna delle J^ (p cp^. . . . (p 

 quella che la precede e qiiella che la segue ahhiano segni opposti, e 1' ullima 

 conservl in tutto il dato intervallo egiial segno, 1' indice I {/, (p) sara dato dal 

 numero delle variazioni di segno che nelle f (p (p^. . . (p^, si perdono dal primo 

 al secondo confine dello stahilito intervallo. 



35. Se la f e la derivata della j\ 1' indice /(/J f) egiiaglia il nu- 

 mero delle radici differenti dtdla f^z. contenute in un dato intervallo i poi- 

 chc quando la .r e infinitamente poco minore di una delle radici della f^ 0, 

 le f f hanno segni opposti, ed acquistano segni eguali per x infinitamente 

 poco magglore della radico ; e percio ogni radice ( semplice o multipla ) della 

 j-^ da r indice -I- 1 . Quando la f e una funzione algehrica razionale 



intera della x, la j' sara di grado meno elevato, e potremo formare le f^f^ . . . 

 di gradi sempre meno elevati. Se giungeremo ad una y^, che in tutto lo sta- 

 hilito intervallo conservi egual segno, il numero /(/J f) di valori differenti, 

 che rendono fz^ , eguagliera quello delle variazioni, che nelle f f f^- •■/,. 

 si perdono dal primo al secondo confine dell' intervallo. Se le f f avessero 

 qualche fattore comune, esso potrehhe togliersi, dopo di che, mutandosi egual- 

 mente i segni di tutti i termini f f /„_••■ f^-, il numero delle loro variazioni 

 resterehhe quello stesso di prima. 



36. L'applicazione di questo celehre teorema dello Sturm ad un'equazione 



composta di molti termini riesce hene spesso molto lahoriosa ; ne faremo qui la 



facile applicazione all'equazione del § 27, nella quale /=:.r' — G.r'' — 33.r — 30, 



/' = 9.r' — 24.r^ — 33 , prendendo / = .i/' — 9/= 30 .r^ -+- 264 j; 4- 270, 



siamo certi che quandoy'iz: 0,y^ avra segno opposto ady^ Riconosciuto che ky^ 

 rimane sempre positiva, vedremo che corrispondentemente ad x:zi — oo , zz:0, 



:=:oo, \g f f J^ avranno i segni — ^4- + , h, H--i--i-: percio la 



y^= ha una sola radice, che cade nelf intervallo tra e xi , nel quale si 

 vedc che sparisce una variazione di segno. Che la /^ z:z non ahbia alcana radi- 

 ce positiva risulta dalla mancanza di variazioni di segno. Per assicurarsi che non 

 Tie ha nemmeno di negative, rnuteremo il segno all' incognita, e della 30jr* 

 — 264.r-t-270 calcoleremo la trasformata in (.r — i) che ha i coefficienli 

 30 -I- 1 20 -I- 1 80 — i 44 -]- 36 ; le sue due variazioni di segno spariscono quan- 

 do diminuiamo ancora I'incognila di — , come si vede nel seguente calcolo 



