376 SULL\ RISOLUZTONE NUMKUlCA DELLK EQUAZIONI, KC. 



sero le soluzioiii, per le quali fosse (x — a)^ -h y^ < I , clo sarebbe lo stesso 

 come chiedere tulle le soliizioni, per le quali 1 punti espressi dalle coordinale 

 X y radono denlro del circolo clie ha il raggio i, ed il centro nel punto 



39. Come nel caso di una sola equazione ad una sola Inrognila J(x) :z:0, 

 la conoscenza del segni dei valori /(xj /i-*^,) corrispondenli ai punli estremi 

 deir inlervallo non Indica il numero delle radici comprcse in quell' inlervallo, 

 ma sollanto 1' eccesso del numero delle radici corrispondenli ad un valor posi- 

 tive della derivata J^'(x) sul numero di quelle corrispondenli a /'(x) nega- 

 tiva ; cos\ pure pel caso di due equazioni a due incognile si ha il teorema : L' in- 

 dice /((?),/) corrispondente a tutto un circuito chluso eguaglia il doppio 

 dcU'eccesso del numero delle soluzioni simultanee delle f(x,y)^0, (p(.r, y)z:zO 

 comprese denlro quel circuito e corrispondenli ad un valor positive della fun- 

 zione SrrD^yD^?) — D,/"D^(p sul numero di quelle corrispondenli a S 

 negativa. Si avverta chc il circuito dee tutto percorrersi nel verso, con cui abbia- 

 mo precedentemente descritto il circuito ABCD (poiche se lo si percorresse 

 nellaltro verso 1' indice muterebbe di segno). Per ogni combinazione di x ed /, 

 che esprime un punto appartenenle al circuito e che rende (p^r 0, dee osser- 

 varsi se nel verso in cui si percorre il circuito vi sla perdita od acquisto di 

 variazione nei segni A\ <(> f prima o dopo di quel punto, e deve contarsi 1' indice 

 H- 1 nei primo caso, e — i nel secondo: I'indice I((p,/) e la somma di tutti 

 questi indici parziali. La S e la funzione alternata o delerminante delle deri- 

 vate prime, la caratleristica D, indicando la derivazione rispetto alia variabile 

 X, e la D_^ quella rispetto alia y. Siccome compiuto il circuito si ritornaal 

 punto di partenza, cosl (§ 34) e !(<(>,/) zn — /(/^ <p), e si 1' uno che 1' altro 

 del due indici dara lo stesso valore : calcolandoli entrambi si diminuira il peri- 

 colo di sbagliare. 



40. Per dimoslrare il precedente teorema premettiamo che se lo spazio 

 contenuto in un circuilo si separi in due parti, 1' indice corrispondente al 

 circuito intero eguagliera la somma degli indici dei due circuiti parziali : 

 infatti, quando si percorrono nel verso stabilito i due circuiti parziali, quella 

 parte di circuito che separa i due spazii conligui viene percorsa nei due sensi 

 opposti ; quindi le due porzioni di indice si distruggono a vicenda, e 1' in- 

 dice del circuilo totale eguaglia la somma degli indici spcttanti ai due circuiti 

 parziali. \oi possiamo percio limitarci a coiisiderare un circuito, die conlenga 



