DEL M. K. PROF. GIUSTO BELLAVITIS 377 



(lonlro di se una sola soliizlone dellc due cquazioni j:iz. 0, ip rzi ; sia esso il 

 rcUangolo ABCD col lato AB diretto parallelamente alle x positive, il lato 

 BC parallelo alle y positive, il lato CD rivolto verso le x negative, e DA 

 verso le y negative. Dentro di questo retlangolo sia FG la curva, a tutti i punti 

 della quale corrispoudonn tali valori delle .r j, che rendono /=:0, e 1> -f la 

 curva per la quale sia ip ^ ; e queste due curve si taglino dentro del circuito 

 nel solo punto M. Supponiamo per fissar le idee che i punti FG'^-V sieno 

 dislribuiti sui lati del rettangolo nell' ordine AF<pBGC-^D , e per tutto lo 

 spazio AFJSI-i'D i valori delle f (p sieno positivi ; la / sara negativa tanto 

 nello spazio MF^ quanto nello spazio M<^BG, che sono separati dal primo 

 dalla curva FG, per la quale e J^ziz 0. Cos'i pure la (p sara negativa nei due 

 spazii MvBG, 3IGC-1r, e positiva nello spazio MFit> ; mentre la y" e positiva 

 anche nello spazio MGC-lr. Nel punto M la derivata Djf e positiva, per- 

 che neir aumentare della y la / passa dal negalivo al positivo, invece le tre 

 derivate D^/, D^ (p, D^ (p sono tutte Ire negative, dunque la S e positiva. Se 

 era percorreremo il circuito ABCD troveremo che 1' indice I{(p,f) e for- 

 mato da -|-i dipendente dalla variazione che si perde nel punto <^ mentre le 

 due funzioni cp J dai segni H prendono i segni , e da -^-d dipen- 

 dente dall altra variazione che si perde nel punto ■¥. Invece 1 indice I {/, <?) 

 e — 2, risultando dalle due variazioni di segno che si acquistano nei due punti 

 F, G percorrendo il circuito da A verso B e da 5 verso C. Cos\ si ha, come 

 esige il tcorema, I{<p,f)z:z. — I{f,<p)zzz'^ doppio del numero di soluzioni 

 comprese nel circuito. II teorema rimane dimostrato colla discussione di tutti 

 gli altri casi, che possono occorrcre nei segni delle funzioni nelle quattro parti, 

 che stanno intorno a ciaschedun punto d' intersezione M delle due curve 



/■=o, <p—Q. 



41. Questo teorema riesce di scarso giovamento nella risoluzione simulta- 

 nea di due equazioni, attesoche due soluzioni corrispondenti una a S positiva 

 ed una a 6 negativa si nascondono a vicenda, ne se ne scorge 1' esistenza. Ma 

 se si abbia una equazione /^(A'jzziO, della quale si cerchino le radici immagi- 

 narie, ponendo Xzz.r-1-^/ (dove I'apposito segno / sta in luogo di f ^^\) 

 avremo F{X)zilf{x, ^)4-(p(.r, ^) / , che e soddisfatta dalle due equazioni 

 simullanee f{x, ^) rz: 0, (p{x, ^) rz 0. Ora, ritenuto che la funzione F del- 

 r immaginaria X sia tale che ne csista la derivata, il diflercnziale della prece- 

 dente equazione dara 



