378 SULLA RISOLUZIOiNE NUMERiCA DELLE EQUAZIONI, EC. 



F' (d^ -t- d ? /) = (D,/-f D. <p /) dx H- (D5/+ D5 $ /) de , 



quindi 



percio 



§ =: D./D5 ^-Y).<p \)J- (D^/)' -f (D. ^y 

 e sempre positlva. Viene da cio 1' importantissimo teorema che 1' indice 



esteso per lulto un circuito chluso da il doppio del numero delle radici imma- 

 glnarie della F (^X), che rappresentano (secondo il vero significato degli imma- 

 ginarii) dei punti compresi dentro di quel circuito. 



42. Per calcolare uno degli iiidici / (/, <p) bisogna supporre che le x ^ 

 sleno le coordinate ortogonali di un punlo, il quale percorra tullo il circuito. 

 In particolare nel circuito rettangolare descritto al § 38 pel lato AB si do- 

 vramio cercare i valori di .r compresi tra x^ ed x^ , che danno f{x, ^J ziz 0, 

 ed osservare se corrispondentemente ad essi si perdano si acquistino variazioni 

 nei valori di /(x, '^^ (p (x, ^J. Una tal ricerca potrehbe eseguirsi operando 

 sulle funzioni /(x, ^^) <}){x, ^^ come nel teorema dcllo Sturm si opera sulle 

 f(x) f (.r) ; ma il calcolo riuscirebhe in pratica molto piu laborioso di quelle 

 che determinare approssimatamente lutte le radici della f{x^ ^^^ che sono 

 comprese nell'intervallo da .r^^ ad .r, e sostituirle nella 9 (.r, Q. Cercando con- 

 temporaneamente le radici delle due equazioni / (.r, ^J=zO, (p (j^, ^^z^^ si 

 conosce con maggior facilita il segno che compete ad una delle funzioni quando 

 r altra si annulla, e si determinano nello stesso tempo i due indici 



la cui somma si verlfica osservando che (§ 34) essa deve eguagliare il numero 

 di variazioni che si perdono da f{x^ , 0J, ?> {x^ , Q a / {x^ , ?„) , (p (.r, , Q ; 

 perleche se una delle f{x, ^„) (p (.r, §,) conservi sempre lo stesso segno da 



