494 SOPR.V DUE NUOVE FORMULE, EC. 



e siccomc pe' niedesinii valori di s, z^ . . . z^^ si ha dalla (36) 



d!^— ,7.3, 



ne risulta 



(45) .. %= = n», 



ossia 



essendo ^^" il valore di y ^ per j ir: (p , ?/ nz ;t ? ~ ^^ -4- 1 e pe' relativi 

 valori dij, ,}\.. .j^^„, «,,... «,^„ 5, , . . . ^^^„ (1). 



Se la pro[iosta funz,ione difFerenziale F^Ax'^ iion contenesse allre varia- 

 hili primitive oltre x ,y ,u,z. /^''jVl-r" sarcbbe una funzione della sola x che 

 noil esige veruna condizione d' integiabilita, attesoche il suo integrale n"""" si 

 pui) sempre assegnarc alnicno col mezzo d' una serie infinila. Non resterebbe 

 quindi che sostituire nella (89) a y^^^ il suo valore teste dedotto, e sommare 

 insieme le (6) (29) (39), onde avere 1' espressione dell' integrale cercato cioe 



V-P^-^Q^-^R^ + ^-n^iix'', 



essendo P^.Q^,R^ determinate dalle eguaglianze (5) (28) (38), e i valori di 



{^\ /d^\ (^7i\ 

 \dyi/ ■KiuJ'XizJ 



deducendosi dalle formule (23) (34) (43) , come pur quelli di 



\diijj'\ All /■ \ dz J 



dalle (24) (35) (44). 



Se poi nella data funzione /"'^ si contenesse qualche altra variabile, si 

 procederebbe analogamentc alio sviluppo di p/^'„^'djr" , riducendo questo in- 

 tegrale a quello di FfAx" , e cosi di mano in mano finche , supposto m il 

 iiumero delle variabili/, «, etc., ad eccezione della x il cui elemento si riten- 

 ne costante, si giungera all' integrale «"""° di F^^^dx" , e si avra in generale 

 (46) ff^n^-^" =: P, + ^, -t- il,-t- . . . -h pn-'d.r". 



E siccome F^-dx" non contiene che la variabile x . eia assunlo dx costante, la 

 lunzione F^"dx" sara sempre integrabile almeno per serie, donde si scorge 

 che per 1' integrabilita della data funzione FJix" non si ricliiede veruna con- 

 dizione riguardo alia variabile x il cui elemento si c ritenuto costante. 



