DEL M. E. PROF. S. K. MIMCH 499 



si troveri 



(64) /3,„, =: 7J.„, -+- ,.,„, , 



sempreche si avvcri il sistema delle relative « condizioni d' inlegrabilita rap- 

 presentate da una qualsiasi delle equazioui (40) (4i) (42). Si avia poi dalla 

 differenziale n"""" della (64) ponendo zz^ -^ , z^^z l' , . . . z^^^ = ■J,'"^'"' , f 

 denotando con F^f' il valore corrlspondente di F^, attesa la (61), 



(65) 5:'=n'> 



cio^ 



da;" 



Qualora I ^ oltre le x , y, u, z contenga altre variabili primitive si 

 procedera analogamente alio sviluppo di C"F^^^Ax" , finche si giunga ad 



C''V^"'''Ax" in cui V^"'^ rappresenta il risultato della soslituzione di yzziip, 



uzzz X, z'zz -l. , etc. fino all' ultima di quesle variabili primitive, cbe si suppone 

 la m"'""' , e di /, rr:?>' . . •/;,+„ =: f'''^'", «, =A:' etc. Pertanto dalla somma 

 delle eguaglianze (49) (60) (64) etc. si avra per espriraere il ricbiesto integrale 

 la formula generale 



(66) jT/x" - />,„, + (),„, ^ /?,„, -h . . . -I- J-A-J-'d-r- 



dcducendosi P^„;, Q(„)^ Rfoi etc., mediante le rispettive espressioni (48) (58) 

 (62) e le eguaglianze (55) (56) (59) (63) etc. L' ultima formula ^""'djr'" 

 essendo funzione della sola .r, nell" ipotesi del dx costante, e sempre integrabile 

 almeno per serie, e all' espressione del siio integrale converra agglungere si 

 nella (66) che nella (46) una funzione intera e razionale di x del grado n~i 

 i cui coefficienti saranno le n costanti arbilrarie che rendono I'integrale completo. 

 Si e gia notato che le funzioni (p,X' ^^ etc. della .r (4) (27) (37) pos- 

 sono essere funzioni qualunque di x e d'ordinario funzioni intere e razionali dei 

 rispettivi gradi /y, </, r etc., ma nei casi ordinarii si ridurranno alle costanti qua- 

 lunque a, b, c, etc., ovvero a' soli termini a,„x'". h,„x"' , c,„x"' etc. Ora 1' inte- 

 grals totaie della data funzione F"dx" esprimendosi (46) (66), mediante integral! 

 di funzioni che risultano dalb F o dalla sua parziale e totaie differenziazione, e 

 palese che bastera attribuire ad j, u, z, etc. que' valori ip , x ^ 4-1 etc. che non 

 rendano infinito il valore di f \ o qucllo di alcuna delle sue parziali derivate. 



