334 METHODE ELEMENTAIRE EtC. 



elementaire et direcle , capable de faire au moins prdsumer I'exi- 

 stence de celte nouvelle verile , qui aura prohablemcnt une grande 

 influence sur les applications , et sur les progrcs futurs de la theo- 

 lie des traascendautes elliptiques : espece de branche moderne du 

 Calcul Integral , creee par M/ Legendre presqu'en entier, et arae- 

 nee par lui-mcme a tin etonnant degre d'elevation. 



La nouvelle eclielle de modules donnee en 1825 ^av ^IJ Legen- 

 dre dans le Chapilre xxxi de son Traite des fonctions elliptiques 

 renferme le germe des theoreines de M/ Jacohi. II y a la le pre- 

 mier cas particulier d'un theoreine beaucoup plus etendu , et les 

 secours necessaires pour aller plus loin. ElFectivement , j'ai recon- 

 nu que par line metliodc analogue a celle du Chapitre xxxi on 

 pouvait Irouver directement les formules qui constituent le i'ecoHc/ 

 theoreme public par M/ Jacobl dans le N.° i23 du Journal cite 

 plus haut. Des-lors j'ai soupconne que la meme methode devait 

 aussi reussir pour les cas ulierieui-s. Mais la longueur des calculs 

 croit dans une proportion epouvantable , et il fallait ti-ouver une 

 demonstration generale du succcs de la melhode , sans etre force 

 d'executer les operations , qui en fournissent la preiive materielle. 

 De plus il fallait reconnaitre a priori les proprietes caracteristi- 

 ques des fonctions entieres et rationnelles qui doivent satisfaire 

 aux conditions du probleme , envisage dans toute sa generalite^ 

 Voila le double but que je me propose de remplir dans cet ecrit , 

 afin de faire voir, comment, en retrogradant de la conclusion vers 

 le commencement , on pent etablir a priori la veritable forme des 

 fonctions clierchees. A' la verite , par ce moyen , on ne decouvre 

 pas la valeur , et encore moins , la forme nouvelle des racines qui 

 reduiseut a zero les polynomes en question. Mais on comprendra 

 du moins que c'est vers ce point, a la fois principal et secondaire, 

 qu'il aurait fallu diriger les elTorts , apres avoir ainsi reconnu la 

 possibilite de transformer d'une infinite de manieres une transcen- 

 dante elliptique de premiere espece dans uue autre semblable qui 

 soil avec elle dans an vapporL constant. 



