134 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI 



bro diviso per x — a da un residue nullo » . Viceversa si vede ufi;ual- 

 menle che se il priino membro deirequazione .4 x^-.-i- E=zQ diviso 

 per X — a da il residue nullo, essendo identicamente A xK...^ E=^ 

 = ( / x^ + ^. x' -f- C, X H- O3) (x -T- a) V equazione avra la radice a, ed 

 inollre lulte le radici dell' equazione di grado inferiore di un'unita 

 ./x' + i?, x' + 6', x + Z>3 = 0; ne viene che « un'equazione potra avere 

 tulto al piu tante radici quant' e il suo grado " . 



18. Se il valore di a renda nello stesso tempo E^=zO e Z>^i=0, 

 siccome la A x'*.... -\- E ^Q ha oltre la radice a tutte quelle della 

 /x' + ^, x'4- C,xH-Z)3 ^0, che in tal caso e identica colla {A x" -\- 



H-^, X+C3) (x — rt)^0, cosi si dice che I'equazione .^ x^... + £"=0 

 ha due volte la radice a, od in altri termini, ch'essa ha una radice 

 doppia eguale alia a. Similmente se a renda nello stesso tempo £"^^=0, 

 Z>4 = 0, i\ r= si dice che I'equazione proposta ha la radice tripla a. 

 Nel contare il numero delle radici di un' equazione ogni radice dop- 

 pia si conta per due, ogni radice tripla per trc, ecc. 



19. Dallequazione identica 



A x^....+E=A{x — of + B^(x — af + C^(x — ay -i-D^{x — a) + E^ 



si desume che il valore del polinomio A x^....-\-E quando x = ffl (va- 

 lore che e ^= E^f ed il valore che esso prende per un altro valore 

 di X hanno una dilTerenza che col diminuire di (x — a) puo ridursi 

 quanto piccola si voglia; ossia con altre parole se il valore di x can- 

 gia per gradi infinitesimi, lo stesso avviene pel valore del polinomio 

 .;/x\. .. + £!, valore che non puo mai divenire infmito finche x e fi- 

 nilo; percio se per due valori della x quali sono x=:a, x = a + 6 

 i corrispondenti valori del polinomio sieno Tuno positive P altro ne- 

 gative, bisognera che il valore di quel polinomio si annulli almeno 

 per un valore della x compreso tra a ed a -+- b. Dunque : " se i due 

 valori che prende il primo membro dell' equazione A x''.... -i- E=0 

 per x = a e per x =: o + 6 hanno segni opposti, 1' equazione ha al- 

 meno una radice compresa tra a ed a-i-b'. In particolare ' se i valori 

 £, E^ del primo membro dellequazione corrispondenti ad x^O ed 

 a x^rt hanno segni opposti, I'equazione ha almeno una radice com- 

 presa tra ed a " . 



