I 40 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI 



dallesislenza d'l uiio o pin valori critici? — Le seguenli considerazioni 

 va|n;ono a toglierc pienamenle qucsta difficolta. 



*I'6. Se a e una radice della proposla eqiiazione /x''4-^x\...+£=0 

 si ha (§ 16) 



e se inoltrc 1 equazione proposta abbia un altra radice b si avra pure 

 (§ 1 7) Tequazione identica / x' -+- /?, x' + (\ x-\-D,=z{l x" -\- B' x -)- T ) 

 (x — h)\ e se finahnente nessun' altra radice della proposla sia com- 

 presa tra a e b bisognera che I a^ -i- B' a + C\ A b" ~\- B' b -{- C ab- 

 biano segni uguali, aUrimenti (§ 19) la ./ x' + ^' x-f- C = 0, e percio 

 ancbe la ./ x' + • •. + ^^= {4 x' + 7?' x -+- C) (x — b) (x — a) = 0, avreb- 

 bero una radice compresa tra a e 6, il die e contro I'ipotesi. Ora 

 se operando colla cifra a e medianle la solita tabella si calcoli il 

 trasformato in (x — a) del polinoniio ./ x '....+ A", che e idenlicamente 

 eguale a ( / x' + Z? x -{- C) (x — 6) (x — o), si vedra per le (3) e (4) 

 del § 16 che il polinoniio trasformato avra rultiino termine E^=zO 

 ed il penultinio D^= / a' -^ Bji'-\- C^a-i- D = ( / a' + ^' a + C ) (a—b); 

 per la medesinia ragione il polinoniio trasforinato in (x — b) avra T ul- 

 timo termine nullo ed il penulthno ^={ / b~h B' b-i-C) {b — «), e per 

 quel che si disse di sopra quesli due penultinii termini avranno se- 

 gni opposti; quindi |)el '] '20 vedremo che « se una data equazione 

 abbia le due radici a b tra le quali non sia compresa alcun'altra ra- 

 dice, le equazioni traslorinale in (x — a) ed in (x — b) avranno i pe- 

 nultimi termini di segni opposti, e percio vi sara un' equazione tras- 

 formata in (x — a.) essendo ■< un numero inlermedio tra a e 6, la 

 quale aAra il penultimo termine nullo > . — 1 valori che annullano il 

 penultimo termine sono (veggansi le equazioni del 5 20) le radici del- 

 r equazione 4 / x' + 5^x'H-2 Cx-f- /> = 0, che dagli analisti e delta 

 la derivofa della proposla J x' -f- B x' + t' x' + i> x + £= ; cosi si 

 ha il teorema del Rolle: » Se <>-, /?, y .... l sieno le radici delK equa- 

 zione derhcda distribuite in ordine di grandezza, T equazione proposta 

 avra tutlo al piu una sola radice minore di ^', una sola compresa tra 



« e /3, una sola tra /3 e y, , ed una sola maggiore di ^ ; percio 



noi saremo certi di separare ad una ad una tulte le radici della pro- 



