DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 145 



per decidere se le due variazioni perdute dalla prima alia seconda 

 dlpendano da due radici o da un valor critico non sarebbe gia ne- 

 cessario cercare la Irasformata intermedia nella quale svanisce il se- 

 condo termine, poscia t'crcare quelle due (cbe forse csisleranno) nelle 

 quali svanisce il terzo termine ecc. Infatti osserveremo che i cinque 

 primi termini presentano nella prima equazione tre variazioni e nella 

 seconda due, e siccome i ragionamenti del § 22 possono applicarsi 

 anche al penultimo termine, cosi saremo cerli che nelF intervallo di 

 cui si tratta il penultimo termine non puo svanire che una sola volta; 

 6 la relativa trasformata, secondo che avra rultimo termine col segno 

 — o col segno +, mostrera Fesistenza di due radici o di un valor 

 critico: se in tale trasformata si annullassero insieme i due ultimi ter- 

 mini, si avrebbe una radice doppia. 



§ IV. 



Criterio per riconoscere la mancanza di radici 

 in un dalo intervallo 



31. Dopo che mediante le considerazioni dei 55 23, 28 siamo ialti 

 sicuri di poter in ogni caso particolare separare tutte le radici di una 

 proposta equazione, vediamo come si possa dispensarsi in pratica dalle 

 ricerche suaccennate mediante criterii che facciano conoscere la non 

 esistenza delle radici, e quindi Tinutilita di cercarle. La questione che 

 sarebbe da risolvere e la seguente : Data un' equazione di qualsiasi 

 grado, che noi in via d'esempio esprimiamo colla lx^-\-Bx^-\-lx-\-D=^0 

 la quale non abbia alcuna radice compresa tra zero ed «, trovare un 

 criterio, il quale ci^ assicuri di tale mancanza di radici . II criterio as- 

 soluto e generale fu trovato dallo Sturm, e lo esporremo in appresso; 

 ma siccome il suo impiego riesce in pratica non poco tedioso, cosi 

 ora ci proponiamo di trovare qualche criterio piii comodo, quantun- 

 que esso sia imperfetlo in questo senso, che la equazione possa man- 

 care di radici nell' intervallo da zero ad a, e nulladimeno il criterio 

 non lo indichi, restando pero sempre vero che se il criterio e sod- 



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