166 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI 



tiino ricorcare dirotlaiiienle se la equazione abbia radici multiple, del 

 die trallerenio in seguito. Del resto nel noslro caso, siccome la equa- 

 zione in z e identica con quella in y, e palese senza piu, clie la pro- 

 posta ha una radice doppia il cui valore e espresso dalla frazione 

 estesa allinfinilo x = 4 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ecc. 



s vii. 



Teorema dello Stnnn e delerminazione delle radici multiple 



39. Se per oompiuta risoluzione delle equazioni si volesse inten- 

 dere la delerminazione di tutte le radici e di tutli i valori critici, il 

 teorema del Fourier (§ 22) non lascierebbc nulla a desiderare, giac- 

 che per ogni intervallo csso indica la presenza o I'assenza di radici 

 o di valori critici; poscia il teorema del Rolle (§ 2o) sussidiato da 

 qucUo del Fourier (5 50) guida nella scelta delle cifre per calcolare 

 le trasformate in guisa da separare tutte le radici o valori critici. Ma 

 la conipiuta risoluzione delle equazioni si riferisce soltanto alia ricerca 

 delle radici, per lo che tornano vantaggiosi quei criterii che rispar- 

 miano ricerche inutili, col far distinguere gli intervalli che contengono 

 radici da quelli che comprendono i valori critici. Mollissimi criterii fu- 

 rono a tal uopo trovati, e ci sembra che quello esposto al § IV sia 

 preferibile perche comodo nelle applicazioni e facile da ricordarsi; ma 

 tulti tali criterii erano imperfelli in quanto che si avea certezza di non 

 escludere intervalli contenenti radici, ma non di escludere tutti quelli 

 contenenti soltanto valori critici. 11 Cauchy fu il prinio (1815) a tro- 

 ^are un crilerio completo, vale a dire una regola sicura per cono- 

 scere il numero delle radici comprese in un certo intervallo; ma e 

 molto piu semplice il celebre teorema dello Sturm, che ora breve- 

 menle esporremo. 



GO. Abbiamo veduto al § 21 che dai coefficienti A, /?, C, D, E di 

 un' equazione in x a quelli ./ B^ C,^ D^ E,^ dclla sua trasformata in 

 (x — a) si perdono tantc variazioni di segno quante sono le volte che 

 neir intervallo da o=:0 ad a si annuUa Fultimo terminc E, = J a'' ■+■ 



