DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS i 67 



■^B a^ ~h Co' -{-D o-\- E, ed inoltre si perde un paio di variazioni 

 o^ni qualvolta si annulli un termine compreso fra due di cgual se- 

 gno; perche adunque il numero delle variazioni perdnte sia eguale al 

 solo numero delle radici bisogncra sosliliiire alle precedenti quantita 

 J £^ C^ Z>4 E^ dipendenti (tranne la prima) dal valore di o, altre quan- 

 tita 7^4 F; F, D^ E^ tali che una delle intermedie non possa annullarsi 

 se non quando quelle tra cui essa e compresa abbiano segni opposti; 

 e in secondo luogo la prima F^ conservi senipre lo stesso segno: al-' 

 lora ogni cangiamento di segno delP ultima £, dara, come vedemmo 

 (i 21), la perdita di una variazione; poiche noi facciamo per ora aslra- 

 zione dal caso che le due ultime E^ D^ svaniscano insieme, cioe che 

 I'equazione proposta abbia radici multiple. 



61. 1 due ultimi polinomii E^ D, sono adunque gli stessi tanto nel 

 teorema del Fourier, quanto in quello dello Sturm; noi \'\ cangeremo 

 fl in ac e li esprimeremo con 



F=J x'' + B x^ + C x' + D X + E, F'= i J x^ + 3 B x' + 2 C x + D ; 



ora se I'anlipenultima F^ sia data da F^ = — F-\-(p,F\ essendo ©_ una 

 funzione della x, la cjuale non divenga mai infinita; se avvenga che 

 !a F' si annulli essa sara compresa fra due /\ = — F, ed F di segno 

 opposto; pertanto Ic quantita F. F^ F^ F F soddisfaranno alia prima 

 condizione se sia analogamente 



F,=:— F+cp.r, F, = — F-\-(p,F,, F^=z — F, + (p,F,; 

 e soddisfaranno anche alia seconda, se le (p, (p^ (pj sieno binomii della 

 forma li x -f- /•, tali che, essendo F del quarto grado ed F' del terzo, F^ 

 risulfi del secondo, /% del primo ed F^ sia una quantita indipendenle 

 dalla X. ' Determinali in tal guisa i polinomii .... F^^ F, F', F se noi 

 vi sostituiremo in luogo di x i due valori quali si vogliano a e b^ a., 

 tanto sara il numero di variazioni che la serie .... F^ F^ F' F perdera 

 nel passare da x^=a ad x = b quante sono le radici della F=0 

 comprese neirintervallo da a a b » . 

 62. Serva di esempio Tequazione 



x^— 4.T' + 36a:*— 108x-f-81 =0 



avremo 



F=a;'i— 4a;3 + 36sc' — 108a; + 81. = i' — 3a;'-f-'18x — 27, 



